Прямая погрешность формула. Абсолютная погрешность измерений. Как рассчитать абсолютную погрешность измерений? Определение абсолютной и относительной погрешности прямых измерений. Номинальная относительная погрешность

Случайные погрешности при прямых измерениях

Приборные погрешности при прямых измерениях

Вычисление погрешностей при косвенных измерениях

Вычисление погрешности при прямых измерениях среднее значение и средняя абсолютная ошибка.

1. Введение

Работа химиков, физиков и представителей других естественно-научных профессий часто связана с выполнением количественных измерений различных величин. При этом возникает вопрос анализа достоверности получаемых значений, обработки результатов непосредственных измерений и оценки погрешностей расчетов, в которых используются значения непосредственно измеряемых характеристик (последний процесс также называется обработкой результатов косвенных измерений). По целому ряду объективных причин знания выпускников химического факультета МГУ о расчете погрешностей не всегда достаточны для правильной обработки получаемых данных. В качестве одной из таких причин можно назвать отсутствие в учебном плане факультета курса по статистической обработке результатов измерений.

К данному моменту вопрос вычисления погрешностей, безусловно, изучен исчерпывающе. Существует большое количество методических разработок, учебников и т.д., в которых можно почерпнуть информацию о расчете погрешностей. К сожалению, большинство подобных работ перегружено дополнительной и не всегда нужной информации. В частности, большинство работ студенческих практикумов не требует таких действий, как сравнение выборок, оценка сходимости и др. Поэтому кажется целесообразным создание краткой разработки, в которой изложены алгоритмы наиболее часто употребляемых вычислений, чему и посвящена данная разработка.

2. Обозначения, принятые в данной работе

Измеряемая величина, -среднее значение измеряемой величины, - абсолютная погрешность среднего значения измеряемой величины, - относительная погрешность среднего значения измеряемой величины.

3. Расчет погрешностей непосредственных измерений

Итак, предположим, что были проведены n измерений одной и той же величины в одних и тех же условиях. В этом случае можно рассчитать среднее значение этой величины в проведенных измерениях:

(1)

Как вычислить погрешность ? По следующей формуле:

(2)

В этой формуле используется коэффициент Стьюдента . Его значения при разных доверительных вероятностях и значениях приведены в .

3.1. Пример расчета погрешностей непосредственных измерений:

Задача.

Проводили измерения длины металлического бруска. Было сделано 10 измерений и получены следующие значения: 10 мм, 11 мм, 12 мм, 13 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм. Требуется найти среднее значение измеряемой величины (длины бруска) и его погрешность .

Решение.

С использованием формулы (1) находим:

мм

Теперь с использованием формулы (2) найдем абсолютную погрешность среднего значения при доверительной вероятности и числе степеней свободы (используем значение =2,262, взятое из ):

Запишем результат:

10,8±0,7 0.95 мм

4. Расчет погрешностей косвенных измерений

Предположим, что в ходе эксперимента измеряются величины , а затем c использованием полученных значений вычисляется величина по формуле . При этом погрешности непосредственно измеряемых величин рассчитываются так, как это было описано в пункте 3.

Расчет среднего значения величины производится по зависимости с использованием средних значений аргументов .

Погрешность величины рассчитывается по следующей формуле:

,(3)

где - количество аргументов , - частные производные функции по аргументам , - абсолютная погрешность среднего значения аргумента .

Абсолютная погрешность, как и в случае с прямыми измерениями, рассчитывается по формуле .

4.1. Пример расчета погрешностей непосредственных измерений:

Задача.

Было проведено 5непосредственных измерений величин и . Для величины получены значения: 50, 51, 52, 50, 47; для величины получены значения: 500, 510, 476, 354, 520. Требуется рассчитать значение величины , определяемой по формуле и найти погрешность полученного значения.

Измерения называются прямыми, если значения величин определяются приборами непосредственно (например, измерение длины линейкой, определение времени секундомером и т. д.). Измерения называютсякосвенными , если значение измеряемой величины определяется посредством прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой определенной зависимостью.

Абсолютная и относительная погрешность. Пусть проведеноN измерений одной и той же величиныx в отсутствии систематической погрешности. Отдельные результаты измерений имеют вид:x 1 ,x 2 , …,x N . В качестве наилучшего выбирается среднее значение измеренной величины:

Абсолютной погрешностью единичного измерения называется разность вида:

Среднее значение абсолютной погрешности N единичных измерений:

(2)

называется средней абсолютной погрешностью .

Относительной погрешностью называется отношение средней абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины:

. (3)

Если нет особых указаний, погрешность прибора равна половине его цены деления (линейка, мензурка).

Погрешность приборов, снабженных нониусом, равна цене деления нониуса (микрометр – 0,01 мм, штангенциркуль – 0,1 мм).

Погрешность табличных величин равна половине единицы последнего разряда (пять единиц следующего порядка за последней значащей цифрой).

Погрешность электроизмерительных приборов вычисляется согласно классу точности С , указанному на шкале прибора:

Например:
и
,

где U max и I max – предел измерения прибора.

Погрешность приборов с цифровой индикацией равна единице последнего разряда индикации.

После оценки случайной и приборной погрешностей в расчет принимается та, значение которой больше.

Большинство измерений являются косвенными. В этом случае искомая величина Х является функцией нескольких переменных а, b , c … , значения которых можно найти прямыми измерениями: Х = f(a , b , c …).

Среднее арифметическое результата косвенных измерений будет равно:

X = f(a ,b ,c …).

Одним из способов вычисления погрешности является способ дифференцирования натурального логарифма функции Х = f(a , b , c …). Если, например, искомая величина Х определяется соотношением Х = , то после логарифмирования получаем:lnX = lna + lnb + ln(c + d ).

Дифференциал этого выражения имеет вид:

Применительно к вычислению приближенных значений его можно записать для относительной погрешности в виде:

 =
. (4)

Абсолютная погрешность при этом рассчитывается по формуле:

Х = Х(5)

Таким образом, расчет погрешностей и вычисление результата при косвенных измерениях производят в следующем порядке:

1) Проводят измерения всех величин, входящих в исходную формулу для вычисления конечного результата.

2) Вычисляют средние арифметические значения каждой измеряемой величины и их абсолютные погрешности.

3) Подставляют в исходную формулу средние значения всех измеренных величин и вычисляют среднее значение искомой величины:

X = f(a ,b ,c …).

4) Логарифмируют исходную формулу Х = f(a , b , c …) и записывают выражение для относительной погрешности в виде формулы (4).

5) Рассчитывают относительную погрешность  = .

6) Рассчитывают абсолютную погрешность результата по формуле (5).

7) Окончательный результат записывают в виде:

Х = Х ср Х

Абсолютные и относительные погрешности простейших функций приведены в таблице:

Абсолютная

погрешность

Относительная

погрешность

a+  b

Физика - наука экспериментальная, это означает, что физические законы устанавливаются и проверяются путем накопления и сопоставления экспериментальных данных. Цель физического практикума заключается в том, чтобы студенты изучили на опыте основные физические явления, научились правильно измерять числовые значения физических величин и сопоставлять их с теоретическими формулами.

Все измерения можно разделить на два вида – прямые и косвенные .

При прямых измерениях значение искомой величины непосредственно получается по показаниям измерительного прибора. Так, например, длина измеряется линейкой, время по часам и т. д.

Если искомая физическая величина не может быть измерена непосредственно прибором, а посредством формулы выражается через измеряемые величины, то такие измерения называются косвенными .

Измерение любой величины не дает абсолютно точного значения этой величины. Каждое измерение всегда содержит некоторую погрешность (ошибку). Ошибкой называют разность между измеренным и истинным значением.

Ошибки принято делить на систематические и случайные .

Систематической называют ошибку, которая остается постоянной на протяжении всей серии измерений. Такие погрешности обусловлены несовершенством измерительного инструмента (например, смещением нуля прибора) или методом измерений и могут быть, в принципе, исключены из конечного результата введением соответствующей поправки.

К систематическим ошибкам относятся также погрешность измерительных приборов. Точность любого прибора ограничена и характеризуется его классом точности, который, как правило, обозначен на измерительной шкале.

Случайной называется ошибка, которая изменяется в разных опытах и может быть и положительной и отрицательной. Случайные ошибки обусловлены причинами, зависящими как от измерительного устройства, (трение, зазоры, и т. п..), так и от внешних условий (вибрации, колебания напряжения в сети и т.п.).

Случайные ошибки нельзя исключить опытным путем, но их влияние на результат можно уменьшить многократными измерениями.

№ измерения

5.4. Вычисление суммарной погрешности

Абсолютная погрешность

; .

5. Относительная погрешность, или точность измерений

; Е = 0,5%.

6. Запись окончательного результата

Окончательный результат для исследуемой величины записывается в виде

Примечание. В окончательной записи число разрядов результата и абсолютной погрешности должно быть одинаковым.

6. Графическое представление результатов измерений

Результаты физических измерений очень часто представляют в графической форме. Графики обладают рядом важных преимуществ и ценных свойств:

а) дают возможность определить вид функциональной зависимости и пределы, в которых она справедлива;

б) позволяют наглядно проводить сравнение экспериментальных данных с теоретической кривой;

в) при построении графика сглаживают скачки в ходе функции, возникающие за счет случайных ошибок;

г) дают возможность определять некоторые величины или проводить графическое дифференцирование , интегрирование, решение уравнения и др.

Графики, как правило, выполняются на специальной бумаге (миллиметровой, логарифмической, полулогарифмической). Принято по горизонтальной оси откладывать независимую переменную, т. е. величину, значение которой задает сам экспериментатор, а по вертикальной оси – ту величину, которую он при этом определяет. Следует иметь в виду, что пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями x и у. При выборе начала координат следует руководствоваться тем, чтобы полностью использовалась вся площадь чертежа (рис.2.).

На координатах осях графика указываются не только названия или символы величин, но и единицы их измерения. Масштаб по осям координат следует выбирать так, чтобы измеряемые точки располагались по всей площади листа. При этом масштаб должен быть простым, чтобы при нанесении точек на график не производить арифметических подсчетов в уме.

Экспериментальные точки на графике должны изображаться точно и ясно. Точки, полученные при различных условиях эксперимента (например, при нагревании и охлаждении), полезно наносить разными цветами или разными значками. Если известна погрешность эксперимента, то вместо точки лучше изображать крест или прямоугольник, размеры которого по осям соответствуют этой погрешности. Не рекомендуется соединять экспериментальные точки между собой ломаной линией. Кривую на графике следует проводить плавно, следя за тем, чтобы экспериментальные точки располагались как выше, так и ниже кривой, как показано на рис.3.

При построении графиков помимо системы координат с равномерным масштабом применяют так называемые функциональные масштабы. Подобрав подходящие функции x и y, можно на графике получить более простую линию, чем при обычном построении. Часто это бывает нужно при подборе к данному графику формулы для определения его параметров. Функциональные масштабы применяют также в тех случаях, когда на графике нужно растянуть или сократить какой-либо участок кривой. Чаще всего из функциональных масштабов используют логарифмический масштаб (рис.4).

Предположим, что мы проводим серию измерений величины Х. Из-за наличия случайных ошибок, получаем n различных значений:

Х 1 , Х 2 , Х 3 … Х n

В качестве результата измерений обычно принимают среднее значение

Разность между средним значением и результатом i – го измерения назовем абсолютной ошибкой этого измерения

В качестве меры ошибки среднего значения можно принять среднее значение абсолютной ошибки отдельного измерения

(2)

Величина
называется средней арифметической (или средней абсолютной) ошибкой.

Тогда результат измерений следует записать в виде

(3)

Для характеристики точности измерений служит относительная ошибка, которую принято выражать в процентах

(4)

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Измерением называют нахождение значений физических величин опытным путем с помощью специальных технических средств. Измерения бывают прямые и косвенные. При прямом измерении искомое значение физической величины находят непосредственно с помощью измерительных приборов (например, измерение размеров тел с помощью штангенциркуля). Косвенным называют измерение, при котором искомое значение физической величины находят на основании известной функциональной зависимости между измеряемой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Например, при определении объема V цилиндра измеряют его диаметр D и высоту Н, а затем по формуле p D 2 /4 вычисляют его объем.

Вследствие неточности измерительных приборов и трудности учета всех побочных явлений при измерениях неизбежно возникают погрешности измерений. Погрешностью или ошибкой измерения называют отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины. Погрешность измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины. Поэтому задача элементарной обработки результатов измерений заключается в установлении интервала, внутри которого с заданной вероятностью находится истинное значение измеряемой физической величины.

Классификация погрешностей измерений

Погрешности разделяют на три вида:

1) грубые или промахи,

2) систематические,

3) случайные .

Грубые погрешности - это ошибочные измерения, возникающие в результате небрежности отсчета по прибору, неразборчивости записи показаний. Например, запись результата 26,5 вместо 2,65; отсчет по шкале 18 вместо 13 и т.д. При обнаружении грубой ошибки результат данного измерения следует сразу отбросить, а само измерение повторить.

Систематические погрешности - ошибки, которые при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по определенному закону. Эти погрешности могут быть обусловлены неправильным выбором метода измерения, несовершенством или неисправностью приборов (например, измерения с помощью прибора, у которого смещен нуль). Для того, чтобы максимально исключить систематические погрешности, следует всегда тщательно анализировать метод измерений, сверять приборы с эталонами. В дальнейшем будем считать, что все систематические погрешности устранены, кроме тех, которые вызваны неточностью изготовления приборов и ошибкой отсчета. Эту погрешность будем называть аппаратурной.

Случайные погрешности - это ошибки, причина которых заранее не может быть учтена. Случайные погрешности зависят от несовершенства наших органов чувств, от непрерывного действия изменяющихся внешних условий (изменение температуры, давления, влажности, вибрация воздуха и т.д.). Случайные погрешности являются неустранимыми, они неизбежно присутствуют во всех измерениях, но их можно оценить, применяя методы теории вероятностей.

Обработка результатов прямых измерений

Пусть в результате прямых измерений физической величины получен ряд ее значений:

x 1 , x 2 , ... x n .

Зная этот ряд чисел, нужно указать значение, наиболее близкое к истинному значению измеряемой величины, и найти величину случайной погрешности. Эту задачу решают на основе теории вероятностей, подробное изложение которой выходит за рамки нашего курса.

Наиболее вероятным значением измеряемой физической величины (близким к истинному) считают среднее арифметическое

. (1)

Здесь x i – результат i–го измерения; n – число измерений. Случайная ошибка измерения может быть оценена величиной абсолютной погрешности D x, которую вычисляют по формуле

, (2)

где t(a ,n) – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности a . Значение доверительной вероятности a задает сам экспериментатор.

Вероятностью случайного события называется отношение числа случаев, благоприятного для данного события, к общему числу равновозможных случаев. Вероятность достоверного события равна 1, а невозможного - 0.

Значение коэффициента Стьюдента, соответствующее заданной доверительной вероятности a и определенному числу измерений n, находят по табл. 1.

Таблица 1

Число измерений n	Доверительная вероятность a
Число измерений n		0,95	0,98
	1,38	12,7	31,8
	1,06
	0,98
	0,94
	0,92
	0,90
	0,90
	0,90
	0,88
	0,84

Из табл. 1 видно, что величина коэффициента Стьюдента и случайная погрешность измерения тем меньше, чем больше n и меньше a . Практически выбирают a =0,95. Однако простое увеличение числа измерений не может свести общую погрешность к нулю, так как любой измерительный прибор дает погрешность.

Поясним смысл терминов абсолютная погрешность D x и доверительная вероятность a , используя числовую ось. Пусть среднее значение измеряемой величины (рис. 1), а вычисленная абсолютная погрешность D x. Отложим D x от справа и слева. Полученный числовой интервал от (- D x) до (+ D x) называется доверительным интервалом . Внутри этого доверительного интервала находится истинное значение измеряемой величины x.

Рис.1

Если измерения той же величины повторить теми же приборами в тех же условиях, то истинное значение измеряемой величины x ист попадет в этот же доверительный интервал, но попадание будет не достоверным, а с вероятностью a .

Вычислив величину абсолютной погрешности D x по формуле (2), истинное значение x измеряемой физической величины можно записать в виде x= ±D x.

Для оценки точности измерения физической величины подсчитывают относительную погрешность , которую обычно выражают в процентах,

. (3)

Таким образом, при обработке результатов прямых измерений необходимо проделать следующее:

1. Провести измерения n раз.

2. Вычислить среднее арифметическое значение по формуле (1).

3. Задать доверительную вероятность a (обычно берут a =0.95).

4. По таблице 1 найти коэффициент Стьюдента, соответствующий заданной доверительной вероятности a и числу измерений n.

5. Вычислить абсолютную погрешность по формуле (2) и сравнить ее с аппаратурной. Для дальнейших вычислений взять ту из них, которая больше.

6. По формуле (3) вычислить относительную ошибку e .

7. Записать окончательный результат

x= ±D x. с указанием относительной погрешности e и доверительной вероятности a .

Обработка результатов косвенных измерений

Пусть искомая физическая величина y связана с другими величинами x 1 , x 2 , ... x k некоторой функциональной зависимостью

Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)

Среди величин x 1 , x 2 , ... x k имеются величины, полученные при прямых измерениях, и табличные данные. Требуется определить абсолютную D y и относительную e погрешности величины y.

В большинстве случаев проще сначала вычислить относительную погрешность, а затем – абсолютную. Из теории вероятностей относительная погрешность косвенного измерения

. (5)

Здесь , где - частная производная функции по переменной x i, при вычислении которой все величины, кроме x i , считаются постоянными; D x i – абсолютная погрешность величины x i . Если x i получена в результате прямых измерений, то ее среднее значение и абсолютную погрешность D x вычисляют по формулам (1) и (2). Для всех измеренных величин x i задается одинаковая доверительная вероятность a . Если какие-либо из слагаемых, возводимых в квадрат, в выражении (5) меньше на порядок (в 10 раз) других слагаемых, то ими можно пренебречь. Это нужно учитывать при выборе табличных величин (p , g и др.), входящих в формулу относительной погрешности. Их значение надо выбрать такими, чтобы их относительная погрешность была на порядок меньше наибольшей относительной погрешности.

Запишем конечный результат:

y= ±D y.

Здесь – среднее значение косвенного измерения, полученное по формуле (4) при подстановке в нее средних величин x i ; D y= e .

Обычно в реальных измерениях присутствуют и случайные и систематические (аппаратурные) погрешности. Если вычисленная случайная погрешность прямых измерений равна нулю или меньше аппаратурной в два и большее число раз, то при вычислении погрешности косвенных измерений в расчет должна приниматься аппаратурная погрешность. Если эти погрешности отличаются меньше, чем в два раза, то абсолютная погрешность вычисляется по формуле

Рассмотрим пример. Пусть необходимо вычислить объем цилиндра:

. (6)

Здесь D – диаметр цилиндра, H – его высота, измеренная штангенциркулем с ценой деления 0.1 мм. В результате многократных измерений найдем средние значения =10.0 мм и =40.0 мм. Относительную погрешность косвенного измерения объема цилиндра определяем по формуле

, (7)

где D D и D H – абсолютные ошибки прямых измерений диаметра и высоты. Их величины рассчитываем по формуле (2): D D=0.01 мм; D H=0.13 мм. Сравним вычисленные ошибки с аппаратурной, равной цене деления штангенциркуля. D D<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо D D не 0.01 мм, а 0.1 мм.

Значение p нужно выбрать таким, чтобы относительной ошибкой Dp / p в формуле (7) можно было пренебречь. Из анализа измеренных величин и вычисленных абсолютных ошибок D D и D H видно, что наибольший вклад в относительную ошибку измерения объема вносит ошибка измерения высоты. Вычисление относительной ошибки высоты дает e H =0.01. Следовательно, значение p нужно взять 3.14. В этом случае Dp / p » 0.001 (Dp =3.142-3.14=0.002).

В абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру.

Примечания.

1. Если измерения производят один раз или результаты многократных измерений одинаковы, то за абсолютную погрешность измерений нужно взять аппаратурную погрешность, которая для большинства используемых приборов равна цене деления прибора (более подробно об аппаратурной погрешности см. в разделе “Измерительные приборы”).

2. Если табличные или экспериментальные данные приводятся без указания погрешности, то абсолютную погрешность таких чисел принимают равной половине порядка последней значащей цифры.

Действия с приближенными числами

Вопрос о различной точности вычисления очень важен, так как завышение точности вычисления приводит к большому объему ненужной работы. Студенты часто вычисляют искомую величину с точностью до пяти и более значащих цифр. Следует понимать, что эта точность излишняя. Нет никакого смысла вести вычисления дальше того предела точности, который обеспечивается точностью определения непосредственно измерявшихся величин. Проведя обработку измерений, часто не подсчитывают ошибки отдельных результатов и судят об ошибке приближенного значения величины, указывая количество верных значащих цифр в этом числе.

Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры, кроме нуля, а также нуль в двух случаях:

1) когда он стоит между значащими цифрами (например, в числе 1071 – четыре значащих цифры);

2) когда он стоит в конце числа и когда известно, что единица соответствующего разряда в данном числе не имеется. Пример. В числе 5,20 три значащих цифры, и это означает, что при измерении мы учитывали не только единицы, но и десятые, и сотые, а в числе 5,2 – только две значащих цифры, и это значит, что мы учитывали только целые и десятые.

Приближенные вычисления следует производить с соблюдением следующих правил.

1. При сложении и вычитании в результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством десятичных знаков. Например: 0,8934+3,24+1,188=5,3214 » 5,32. Сумму следует округлить до сотых долей, т.е. принять равной 5,32.

2. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр. Например, необходимо перемножить 8,632 ´ 2,8 ´ 3,53. Вместо этого выражения следует вычислять

8,6 ´ 2,8 ´ 3,5 » 81.

При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну цифру больше, чем рекомендуют правила (так называемая запасная цифра). В окончательном результате запасная цифра отбрасывается. Для уточнения значения последней значащей цифры результата нужно вычислить за ней цифру. Если она окажется меньше пяти, ее следует просто отбросить, а если пять или больше пяти, то, отбросив ее, следует предыдущую цифру увеличить на единицу. Обычно в абсолютной ошибке оставляют одну значащую цифру, а измеренную величину округляют до того разряда, в котором находится значащая цифра абсолютной ошибки.

3. Результат расчета значений функций x n , , lg(x ) некоторого приближенного числа x должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в числе x . Например: .

Построение графиков

Результаты, полученные в ходе выполнения лабораторной работы, часто важно и необходимо представить графической зависимостью. Для того, чтобы построить график, нужно на основании проделанных измерений составить таблицу, в которой каждому значению одной из величин соответствует определенное значение другой.

Графики выполняют на миллиметровой бумаге. При построении графика значения независимой переменной следует откладывать на оси абсцисс, а значения функции – на оси ординат. Около каждой оси нужно написать обозначение изображаемой величины и указать, в каких единицах она измеряется (рис. 2).

Рис.2

Для правильного построения графика важным является выбор масштаба: кривая занимает весь лист, и размеры графика по длине и высоте получаются приблизительно одинаковыми. Масштаб должен быть простым. Проще всего, если единица измеренной величины (0,1;10;100 и т.д.) соответствует 1, 2 или 5 см. Следует иметь в виду, что пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями откладываемых величин (рис. 2).

Каждое полученное экспериментальное значение наносится на график достаточно заметным образом: точкой, крестиком и т.д.

Погрешности указывают для измеряемых величин в виде отрезков длиной в доверительный интервал, в центре которых расположены экспериментальные точки. Так как указание погрешностей загромождает график, то делается это лишь тогда, когда информация о погрешностях действительно нужна: при построении кривой по экспериментальным точкам, при определении ошибок с помощью графика, при сравнении экспериментальных данных с теоретической кривой (рисунок 2). Часто достаточно указать погрешность для одной или нескольких точек.

Через экспериментальные точки необходимо проводить плавную кривую. Нередко экспериментальные точки соединяют простой ломаной линией. Тем самым как бы указывается, что величины каким-то скачкообразным образом зависят друг от друга. А это является маловероятным. Кривая должна быть плавной и может проходить не через отмеченные точки, а близко к ним так, чтобы эти точки находились по обе стороны кривой на одинаковом от нее расстоянии. Если какая-либо точка сильно выпадает из графика, то это измерение следует повторить. Поэтому желательно строить график непосредственно во время опыта. Тогда график может служить для контроля и улучшения наблюдений.

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И УЧЕТ ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Для прямых измерений физических величин применяют измерительные приборы. Любые измерительные приборы не дают истинного значения измеряемой величины. Это связано, во-первых, с тем, что невозможно точно отсчитать по шкале прибора измеряемую величину, во-вторых, с неточностью изготовления измерительных приборов. Для учета первого фактора вводится погрешность отсчета Δx o , для второго - допускаемая погрешность Δx д . Сумма этих погрешностей образует аппаратурную или абсолютную погрешность прибора Δx :

Допускаемую погрешность нормируют государственными стандартами и указывают в паспорте или описании прибора.

Погрешность отсчета обычно берут равной половине цены деления прибора, но для некоторых приборов (секундомер, барометр-анероид) - равной цене деления прибора (так как положение стрелки этих приборов изменяется скачками на одно деление) и даже нескольким делениям шкалы, если условия опыта не позволяют уверенно отсчитать до одного деления (например, при толстом указателе или плохом освещении). Таким образом, погрешность отсчета устанавливает сам экспериментатор, реально отражая условия конкретного опыта.

Если допускаемая погрешность значительно меньше ошибки отсчета, то ее можно не учитывать. Обычно абсолютная погрешность прибора берется равной цене деления шкалы прибора.

Измерительные линейки обычно имеют миллиметровые деления. Для измерения рекомендуется применять стальные или чертежные линейки со скосом. Допускаемая погрешность таких линеек составляет 0,1 мм и ее можно не учитывать, так как она значительно меньше погрешности отсчета, равной ± 0,5 мм. Допускаемая погрешность деревянных и пластмассовых линеек ± 1 мм.

Допускаемая погрешность измерения микрометра зависит от верхнего предела измерения и может составлять ± (3–4) мкм (для микрометров с диапазоном измерения 0–25 мм). За погрешность отсчета принимают половину цены деления. Таким образом, абсолютную погрешность микрометра можно брать равно цене деления, т.е. 0,01 мм.

При взвешивании допускаемая погрешность технических весов зависит от нагрузки и составляет при нагрузке от 20 до 200 г – 50 мг, при нагрузке меньше 20 г – 25 мг.

Погрешность цифровых приборов определяется по классу точности.

Оценка погрешностей результатов измерений

Погрешности измерений и их типы

Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений, физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения и т. д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности измерения, т. е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с можно сказать, что истинное значение его находится в интервале от https://pandia.ru/text/77/496/images/image002_131.gif" width="85" height="23 src=">с..gif" width="16" height="17 src="> и X – соответственно истинное и измеренное значения исследуемой величины. Величина называется абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения, а выражение , характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.

Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить ту ил иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной.

Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на три типа – систематические, случайные и промахи, или грубые ошибки.

Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов (приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной формулы, неправильной установкой прибора и т. д. Таким образом, систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям приборов, учета постоянного влияния внешних факторов.

Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно. Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин (изменением температуры, давления, сотрясения здания и т. д.), действия которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся и погрешности обусловленные свойствами измеряемого объекта.

Исключить случайны погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений. Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений. Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или одного порядка с погрешностью прибора.

Промахи, или грубые ошибки, - это неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т. п. Как правило, промахи, обусловленные указанными причинами хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты резко отличаются от других отсчетов. Промахи должны быть устранены путем контрольных измерений. Таким образом, ширину интервала в котором лежат истинные значения измеряемых величин, будут определять только случайные и систематические погрешности.

2. Оценка систематической (приборной) погрешности

При прямых измерениях значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.

Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна мВ.

Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9∙103 кг/м3, то абсолютная погрешность в этом случае равна https://pandia.ru/text/77/496/images/image009_52.gif" width="123" height="24 src=">используется формула

, (1)

где https://pandia.ru/text/77/496/images/image012_40.gif" width="16" height="24">, - частные производные функции по переменной https://pandia.ru/text/77/496/images/image014_34.gif" width="65 height=44" height="44">.

Частные производные по переменным d и h будут равны

Https://pandia.ru/text/77/496/images/image017_27.gif" width="71" height="44 src=">.

Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с имеет следующий вид

где и приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра

3. Оценка случайной погрешности.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

https://pandia.ru/text/77/496/images/image016_30.gif" width="12 height=23" height="23">.gif" width="45" height="21 src="> - функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки , σ – средняя квадратичная ошибка.

Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического . Величина которой определяется по формуле

, (3)

где https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17">- среднее арифметическое полученных значений; n – число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17 src=">, а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде https://pandia.ru/text/77/496/images/image029_11.gif" width="45" height="19"> до , в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом. Поскольку https://pandia.ru/text/77/496/images/image025_16.gif" width="19 height=24" height="24"> близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ , используется распределение вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величины , называемой коэффициентом Стьюдента , дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ2, а существенно зависит от числа опытов n. С увеличением числа опытов n распределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.

Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n , и столбца, соответствующего доверительной вероятности α

Таблица 1.

Пользуясь данными таблицы, можно:

1) определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;

2) выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.

При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции вычисляют по формуле

. (5)

Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений.

Оценка суммарной погрешности измерений. Запись окончательного результата.

Суммарную погрешность результата измерений величины Х будем определять как среднее квадратичное значение систематической и случайной погрешностей

, (6)

где δх – приборная погрешность, Δх – случайная погрешность.

В качестве Х может быть как непосредственно, так и косвенно измеряемая величина.

, α=…, Е=… (7)

Следует иметь в виду, что сами формулы теории ошибок справедливы для большого число измерений. Поэтому значение случайной, а следовательно, и суммарной погрешности определяется при малом n с большой ошибкой. При вычислении Δх при числе измерений рекомендуется ограничиваться одной значащей цифрой, если она больше 3 и двумя, если первая значащая цифра меньше 3. Например, если Δх = 0,042, то отбрасываем 2 и пишем Δх =0,04, а если Δх =0,123, то пишем Δх =0,12.

Число разрядов результата и суммарной погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое вычисляется вначале на один разряд больше, чем измерение, а при записи результата его значение уточняется до числа разрядов суммарной ошибки.

4. Методика расчета погрешностей измерений.

Погрешности прямых измерений

При обработке результатов прямых измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций.

Проводятся измерения заданного физического параметра n раз в одинаковых условиях, и результаты записываются в таблицу. Если результаты некоторых измерений резко отличаются по своему значению от остальных измерений, то они как промахи отбрасываются, если после проверки не подтверждаются. Вычисляется среднее арифметическое из n одинаковых измерений. Оно принимается за наиболее вероятное значение измеряемой величины

Находятся абсолютные погрешности отдельных измерений Вычисляются квадраты абсолютных погрешностей отдельных измерений (Δх i)2 Определяется средняя квадратичная ошибка среднего арифметического

Задается значение доверительной вероятности α. В лабораториях практикума принято задавать α=0,95. Находится коэффициент Стьюдента для заданной доверительной вероятности α и числа произведенных измерений (см. табл.) Определяется случайная погрешность

Определяется суммарная погрешность

Оценивается относительная погрешность результата измерений

Записывается окончательный результат в виде

С α=… Е=…%.

5. Погрешность косвенных измерений

При оценке истинного значения косвенно измеряемой величины https://pandia.ru/text/77/496/images/image045_6.gif" width="75" height="24">, можно использовать два способа.

Первый способ используется, если величина y определяется при различных условиях опыта. В этом случае для каждого из значений вычисляется , а затем определяется среднее арифметическое из всех значений yi

Систематическая (приборная) погрешность находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле. Случайная погрешность в этом случае определяется как ошибка прямого измерения.

Второй способ применяется, если данная функция y определяется несколько раз при одних и тех же измерений..gif" width="75" height="24">. В нашем лабораторном практикуме чаще используется второй способ определения косвенно измеряемой величины y. Систематическая (приборная) погрешность, как и при первом способе, находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле

. (10)

Для нахождения случайной погрешности косвенного измерения вначале рассчитываются средние квадратичные ошибки среднего арифметического отдельных измерений. Затем находится средняя квадратичная ошибка величины y. Задание доверительной вероятности α, нахождение коэффициента Стьюдента https://pandia.ru/text/77/496/images/image048_2.gif" width="83" height="23">, с α=… Е=…%.

6. Пример оформления лабораторной работы

Лабораторная работа №1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА

Принадлежности: штангенциркуль с ценой деления 0,05 мм, микрометр с ценой деления 0,01 мм, цилиндрическое тело.

Цель работы: ознакомление с простейшими физическими измерениями, определение объема цилиндра, расчет погрешностей прямых и косвенных измерений.

Провести не менее 5 раз измерения штангенциркулем диаметра цилиндра, а микрометром его высоту.

Расчетная формула для вычисления объема цилиндра

где d – диаметр цилиндра; h – высота.

Результаты измерений

Таблица 2.

Вверх