Решение задач линейного программирования графическим методом. Графические задачи решаемые на морских картах Пример отсутствия решения

Часто графическое представление физического процесса делает его более наглядным и тем самым облегчает понимание рассматриваемого явления. Позволяя порой значительно упростить расчеты, графики широко используются на практике для решения различных задач. Умение строить и читать их сегодня является обязательным для многих специалистов.

К графическим задачам мы относим задачи:

на построение, где очень помогают, рисунки, чертежи;
схемы, решаемые с помощью векторов, графиков, диаграмм, эпюр и номограмм.

1) Мячик бросают с земли вертикально вверх с начальной скоростью v о. Постройте график зависимости скорости мячика от времени, считая удары о землю абсолютно упругими. Сопротивлением воздуха пренебречь. [решение ]

2) Пассажир, опоздавший к поезду, заметил, что предпоследний вагон прошел мимо него за t 1 = 10 c , а последний — за t 2 = 8 с . Считая движение поезда равноускоренным, определите время опоздания. [решение ]

3) В комнате высотой H к потолку одним концом прикреплена легкая пружина жесткостью k , имеющая в недеформированном состоянии длину l о (l о < H ). На полу под пружиной размещают брусок высотой x с площадью основания S , изготовленный из материала плотностью ρ . Построить график зависимости давления бруска на пол от высоты бруска. [решение ]

4) Букашка ползет вдоль оси Ox . Определите среднюю скорость ее движения на участке между точками с координатами x 1 = 1,0 м и x 2 = 5,0 м , если известно, что произведение скорости букашки на ее координату все время остается постоянной величиной, равной c = 500 см 2 /с . [решение ]

5) К бруску массой 10 кг , находящемуся на горизонтальной поверхности, приложена сила. Учитывая, что коэффициент трения равен 0,7 , определите:

cилу трения для случая, если F = 50 Н и направлена горизонтально.
cилу трения для случая, если F = 80 Н и направлена горизонтально.
построить график зависимости ускорения бруска от горизонтально приложенной силы.
с какой минимальной силой нужно тянуть за веревку, чтобы равномерно перемещать брусок? [решение ]

6) Имеются две трубы, подсоединенных к смесителю. На каждой из труб имеется кран, которым можно регулировать поток воды по трубе, изменяя его от нуля до максимального значения J o = 1 л/с . В трубах течет вода с температурами t 1 = 10° C и t 2 = 50° C . Постройте график зависимости максимального потока воды, вытекающей из смесителя, от температуры этой воды. Тепловыми потерями пренебречь. [решение ]

7) Поздним вечером молодой человек ростом h идет по краю горизонтального прямого тротуара с постоянной скоростью v . На расстоянии l от края тротуара стоит фонарный столб. Горящий фонарь закреплен на высоте H от поверхности земли. Постройте график зависимости скорости движения тени головы человека от координаты x . [решение ]

1 Филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Уральский государственный университет путей сообщения»

Подготовка специалистов технического профиля включает обязательный этап графической подготовки. Графическая подготовка специалистов технического профиля происходит в процессе выполнения графических работ различных видов, в том числе при решении задач. Графические задачи могут подразделяться на различные виды, по содержанию условия задачи и по действиям, которые совершаются обучаемыми в процессе решения задачи. Разработки типологии задач, принципов их классификации, подразделение задач на различные виды для эффективного использования их в процессе обучения, разработка характеристики задачи на основе классификации графических задач. Для развития мотивации графической подготовки обучаемых необходимо задействовать в учебном процессе творческие задачи, предполагающие включение в процесс обучения элементы творческого поиска. Систематизация разработанного нами творческого интерактивного задания по разработке витагенно-ориентированных графических задач, классификация видов задания и продукта его выполнения на группы в соответствии с определенными признаками: по содержания задания, по действиям над графическими объектами, по охвату учебного материала, по способу решения и оформлению результатов решения, по роли задачи в формировании графических знаний. Всеобъемлющая систематизация графических задач различного уровня усвоения материала позволяет всесторонне развивать графические способности обучаемых, тем самым повышая качество подготовки специалистов технического профиля.

уровни усвоения графических знаний

сюжет витагенно-ориентированной задачи

выполняемые при решении графических задач

действия и операции

классификация графических задач

задачная и решающая системы графической задачи

творческие интерактивные задания по разработке витагенно-ориентированных задач

графическая задача классического содержания

1. Бухарова Г.Д. Теоретические основы обучения студентов умению решать физические задачи: учеб. пособие. – Екатеринбург: УРГППУ, 1995. – 137 с.

2. Новоселов С.А., Туркина Л.В. Творческие задачи по начертательной геометрии как средство формирования обобщенной ориентировочной основы обучения инженерной графической деятельности // Образование и наука. Известия Уральского отделения Российской академии образования. – 2011. – № 2 (81). – С. 31-42

3. Рябинов Д.И., Засов В.Д. Задачи по начертательной геометрии. – М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1955. – 96 с.

4. Тулькибаева Н.Н., Фридман Л.М., Драпкин М.А., Валович Е.С., Бухарова Г.Д. Решение задач по физике. Психолого-методический аспект/Под ред Тулькибаевой Н.Н., Драпкина М.А. Челябинск: Из-во ЧГПИ «Факел», 1995.-120с.

5. Туркина Л.В. Сборник задач по начертательной геометрии витагенно-ориентированного содержания /– Нижний Тагил; Екатеринбург: УрГУПС, 2007. – 58 с

6. Туркина Л.В. Творческая графическая задача – структура содержания и решения // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 2; URL: http://www..03.2014).

Одной из главных составляющих подготовки специалистов технического профиля является практическая учебная деятельность, включающая деятельность по решению учебных задач. Решение задач различных видов дает возможность сформировать умения и навыки, разрешать проблемы учебного характера, выработать готовность для развития творческого поиска в процессе профессиональной деятельности будущих специалистов.

Разнообразие видов задач, которые предлагаются для решения студентам, расширяет кругозор обучаемых, учит практическому применению знаний и мотивирует их самостоятельную учебную деятельность. Для того чтобы был применен весь спектр учебных задач по той или иной дисциплине, необходимо иметь представление обо всём их многообразии, классифицировать их по тем или иным признакам и целенаправленно использовать их для формирования востребованных в профессиональной деятельности качеств личности будущих специалистов.

Одной из основных составляющих подготовки специалистов технического профиля является графическая подготовка, включающая практическую составляющую в виде решения графических задач. Решение графических задач - это фундамент для формирования навыков построения чертежа, знаний теории проецирования, правил оформления графических изображений. Цель графической задачи - это создание графического изображения заданного объекта, построенного в соответствие с правилами Единой системы конструкторской документации, или преобразование, или дополнение заданного графического изображения объекта.. Структура графической задачи по сути сходна со структурой задачи по физике, которая определена Г.Д. Бухаровой как сложная дидактическая система, где в единстве, взаимосвязи, взаимозависимости и взаимодействии представлены компоненты (задачная и решающая системы), каждый из которых, в свою очередь, состоит из находящихся в такой же динамической зависимости элементов.

В задачностную систему, как известно , входят предмет, условия и требования задачи, решающая система включает в себя набор взаимосвязанных методов, способов и средств решения задачи.

Задачностная система графической задачи определяется ее содержанием, которое можно классифицировать по использованным разделам графических дисциплин (например, начертательной геометрии). Для систематизации типов и видов графических задач необходимо разработать основы, принципы и выстроить систему их деления на группы. Для этого предлагаем разработанную нами концепцию типологии (классификации) графических задач. Разработанная нами классификация задач аналогична классификации задач по физике , но имеет свои особенности, характерные для обучения графическим дисциплинам, для которых характерно не только овладение специфической областью знаний, но и формирование навыка по их применению при разработке графической документации.

Условие задачи как входящий элемент задачностной системы определяет дальнейшие действия обучаемого и позволяет классифицировать графические задачи по видам графических действий над объектами.

По видам объектов, над которыми производятся графические действия, могут быть следующими:

задачи с плоскими объектами (точка, прямая, плоскость);
задачи с пространственными объектами (поверхности, геометрические тела);
задачи со смешанными объектами (точка, прямая, плоскость поверхность геометрическое тело).

По охвату учебного материала начертательной геометрии задачи можно классифицировать на гомогенные (один раздел) и смешанные (несколько разделов) полигенные.

задачи с текстовым условием;
задачи с графическим условием;
задачи со смешанным содержанием.

По достаточности информации задачи классифицируются на:

задачи определенные;
задачи поисковые.

Процесс решения задачи определяет решающую систему и позволяет классифицировать графические задачи по следующим параметрам и признакам процесса выполнения действий над объектами задачи:

По видам графических операций над объектами задачи могут быть следующими:

задачи по определению положения объекта в пространстве относительно плоскостей проекций и изменение его положения;
задачи по определению взаимного положения объектов;
метрические задачи (определение натуральной величины объектов: размеров линейных величин, формы)

По действиям, направленным на предмет, задачи могут быть:

задачами исполнения;
задачами преобразования;
задачами конструирования;
задачами доказательства;
задачами сопоставления;
задачами исследования.

По способу решения графические задачи могут быть:

задачи, решающиеся графическим способом;
задачи, решающиеся аналитическим (вычислительным) способом;
задачи, решающиеся логическим способом с графическим оформлением решения.

По применению средств решения графические задачи делятся на:

задачи, решаемые ручными средствами;
задачи, решаемые с применением информационных технологий.

По числу решений задачи могут быть:

задачи, имеющие одно решение;
задачи, имеющие несколько решений;
задачи, не имеющие решений.

По роли задач в формировании графических знаний их можно классифицировать на задачи формирующие:

графические понятия (понятий) и термины;
умения и навыки применения метода проецирования;
умения и навыки применения методов преобразования чертежа;
умения и навыки применения способов определения расположения объекта;
умения и навыки применения способов определения общих частей двух и более объектов (линии пересечения);
умения и навыки применения способов определения размеров объекта;
умения и навыки применения способов определения формы объекта;
умения и навыки применения способов определения развертки объекта.

Например:

Задача № 1. Построить на эпюре точку B, которая принадлежит горизонтальной плоскости проекций, удалена от фронтальной плоскости проекций на 40 мм, а от профильной плоскости проекций на 20 мм дальше, чем от фронтальной.

Задача гомогенная, содержание ее относится к разделу «Точка и прямая» дисциплины «Начертательная геометрия». Задача требует совершения графических действия над плоским объектом, условие задачи изложено в текстовом виде, задача имеет достаточный объем информации и не относится к поисковым. Это классический пример задачи на определение положения объекта в пространстве относительно плоскостей проекций и изображения его на чертеже (эпюре). Задача - исполнение определенных, заданных условием задачи действий; данная задача может быть решена исключительно графическим способом. Она может быть решена как при помощи ручных средств, так и при помощи компьютерной программы САПР, задача имеет одно решение. Данная задача формирует графические понятия и термины (название и положение плоскости проекций, понятие «точка», координаты точки), умения и навыки применения метода проецирования - проецирование точки.

Решение задачи представлено на рисунке 1.

Задача № 2. Построить развертку поверхности В, содержащую проекции точки А и С, и пересекающуюся с поверхностью K - цилиндром фронтально-проецирующего направления, ось которого пересекает ось поверхности В.

Задача № 2 является полигенной, так как совмещает в себе следующие разделы: «Точка в системе проекций», «Пересечение поверхностей», «Развертывание кривых поверхностей». Это задача со смешанными объектами (точки, поверхности), условие задачи также имеет смешанное (комплексное) содержание, состоящее из текстовой и графической части. Условие задачи не определено полностью, так как цилиндр, пересекающий заданную поверхность В, не имеет диаметра и его положение не определено на чертеже. Это задача на определение взаимного положения объектов и определение развертки поверхности, то есть задача исполнения, решаемая графическим путем, как ручным способом, так и с применением информационных технологий. Задача имеет множество решений и формирует графические понятия - точка, поверхности вращения (конус, цилиндр), навыки применения способов определения общих частей объектов (способ секущих плоскостей) и навыки построения развертки поверхностей вращения.

Решение задачи №2 представлено на рисунке 3.

Процесс решения графической задачи, приведенный выше, иллюстрирует особенность обучения графическим дисциплинам, состоящую в том, что геометрические объекты в проекциях и графические построения трудны для освоения студентами младших курсов, вчерашними школьниками, имеющими минимальный уровень графической подготовки в связи с тем, что курс черчения переведен в вариативные курсы. Для мотивации графического познания, снижения абстрактности учебного материала некоторыми педагогами были предложены задачи с материализованными объектами и задания по разработке задач витагенно-ориентированного содержания .

Классификация творческих витагенно-ориентированных задач аналогична классификации графических задач классического содержания, но имеет ряд отличий определяющихся тем, что задачностная система творческой задачи - это задание на разработку самой задачи. Это информация, определяющая направление дальнейших учебных действий студента, содержание графического модуля, в рамках которой может быть разработана графическая задача, но не ограничивающая область применения знаний предмета и творческую фантазию обучаемого.

задачи гомогенные (одна тема);
задачи смешанные (несколько разделов).

По требованиям к содержанию задачи могут быть:

задачи, конкретизирующие требования к содержанию задачи;
задачи свободного выбора содержания задачи (задача на вышеуказанную тему).

По требованиям к выборам материальных объектов содержание задачи может быть:

задачи с обязательным использованием объектов витагенного опыта;
задачи с обязательным использованием объектов профессиональной деятельности;
задачи с обязательным использованием межпредметных знаний;
задачи без особых требований к объектам задачи.

По определенному в задании на разработку задачи способу поиска средств решения задачи могут классифицироваться на:

задания свободного поиска;
задания с применением методов активизации мышления;
задания, решаемые по аналогии со стандартной задачей: заменой абстрактного объекта на материализованный объект.

Например, задание на разработку задачи может быть сформулировано следующим образом:

Разработать задачу по начертательной геометрии, применив знания темы «Проецирование точки, прямой» в реальной жизненной ситуации, предварительно изучив теоретические положения и рассмотрев задачи классического содержания. При составлении задачи использовать материальные аналоги геометрических объектов (точка, прямая).

Задание гомогенное, не выдвигающее требований к ни содержанию разрабатываемой задачи, ни к характеру используемых в задаче объектов, ни к способу поиска материальных аналогов геометрических объектов.

Пример выполнения задания :

Шахтер спустился в шахту на лифте на глубину 10 м, прошел по тоннелю, направленному вдоль оси X вправо 25 м, повернул на 90° налево и прошел по тоннелю, направленному вдоль оси Y еще 15 м. Построить эпюр точки, которая определяет местонахождение шахтера. Точку пересечения поверхности земли с шахтой лифта принять за начало осей координат. Ось лифта принять за ось Z.

На рисунке 4 представлена горизонтальная проекция точки А -А1 и фронтальная проекция точки А-А2, характеризующая местоположение объекта, который находится ниже уровня земли, принятой нами за горизонтальную плоскость проекции.

Содержание разработанной задачи определяет действия по решению задачи и позволяет классифицировать творческие витагенно-ориентированные задачи так же как и задачи классического содержания по видам геометрических операций над объектами, по охвату учебного материала графической дисциплины, по виду и содержанию условия задачи, по действиям, направленным на предмет составленной задачи, по достаточности информации, которую содержит разработанное условие задачи, по способу поиска средств решения.

Основное отличие витагенно-ориентированной творческой задачи от классических графических задач по начертательной геометрии состоит в наличии сюжетной линии, в основе которой техническая проблема, решаемая средствами начертательной геометрии. Витагенно-ориентированная задача, прежде всего, - это повествование о какой- либо сфере человеческой деятельности, в которой применяются методы и способы графических дисциплин. Творческий поиск студентов при разработке витагенно-ориентированнных задач не ограничивается: технические проблемы быта, разработка сюжета с использованием знаний других дисциплин, использование профессиональных знаний.

По сюжетной линии условия задачи их можно рассмотреть как:

задачи с использованием бытовой ситуации для сюжета задачи;
задачи с использованием производственной технической ситуации для сюжета задачи;
задачи с использованием исторического сюжета;
задачи с использованием знаний из других областей для разработки сюжета задачи (география, биология, химия, физика);
задачи с использованием литературных сюжетов;
задачи с использованием фольклорных сюжетов.

Решение составленной задачи - это неотъемлемая часть выполнения заданий по разработке задачи; решаемость разработанной задачи - это критерий правильности решения задания. Процесс решения также позволяет классифицировать разработанные задачи по некоторым признакам. Например, по применению средств решения задачи могут быть:

решаемые графическими ручными средствами;
решаемые с применением информационных технологий;
решаемые аналитически (вычислениями);
решаемые комбинированными средствами.

Составленные в результате решения витагенно-ориентированные задачи можно классифицировать так же как и классические графические задачи по числу решений и по роли задач в формировании графических знаний (способ классификации приведен выше).

Например, студент разработал следующую задачу :

Гвоздь вбит в стену на глубину 100 мм на высоте 500 мм. Построить эпюр отрезка прямой линии, представленной в виде гвоздя, если его длина 200 мм.

Стена - плоскость V, пол - плоскость Н. Плоскость W принять произвольно. Указать видимость.

Рис.5. Решение задачи

Приведенная задача относится к задачам с плоскими объектами, гомогенная по определению положения объекта относительно плоскостей проекций, задача исполнения, задача имеет неполный объем информации для изображения объекта, так как не указано расположение гвоздя относительно профильной плоскости проекции (координата x) и, следовательно, имеет множество решений. Решение этой задачи может быть только графическим и выполнено как ручным способом, так и с применением информационных технологий. Задача формирует понятие проецирующей прямой и положение геометрических объектов в 1 и 2 четверти. Информация, изложенная в задаче, - это часть жизненного опыта студента, которая демонстрирует на практике фронтально-проецирующую прямую и помогает усвоить темы проецирования плоских объектов. Полная характеристика задачи с точки зрения классификации графических задач позволяет эффективно использовать ее в учебном процессе.

Проанализировав различные виды графических задач и определив основы их систематизации и классификации, можно заключить следующее:

Обучение графическим дисциплинам требует обязательного введения практической составляющей учебного процесса, формирующей навыки графической деятельности. Практическая графическая деятельность в процессе обучения состоит в решении графических задач, охватывающих различные разделы графических дисциплин, задач различного уровня сложности, предназначенных для усвоения различных графических понятий, действий и операций, формирующих знания различного уровня. Для достижения этого необходимо использовать весь спектр графических задач: от простых, формирующих репродуктивный уровень знания, до творческих задач с элементами научного поиска, предполагающих продуктивный уровень усвоения графических знаний. Систематизация задач по графическим дисциплинам дает возможность эффективно и правильно использовать различные виды заданий на разных этапах учебного процесса, координировать графическую деятельность обучаемых различного уровня подготовки и создавать условия для их мотивационно-творческой активности и устойчивого интереса к графическим дисциплинам, тем самым активизировать их самостоятельную графическую деятельность и повышать качество графической подготовки.

Рецензенты:

Новоселов С.А., д.п.н., профессор, директор Института педагогики и психологии детства, Уральский государственный педагогический университет, г. Екатеринбург;

Куприна Н.Г., д.п.н., профессор, заведующая кафедрой эстетического воспитания, Уральский государственный педагогический университет, г. Екатеринбург.

Библиографическая ссылка

Туркина Л.В. КЛАССИФИКАЦИЯ ГРАФИЧЕСКИХ ЗАДАЧ // Современные проблемы науки и образования. – 2015. – № 1-1.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=19360 (дата обращения: 12.07.2019). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Все построения в процессе графического счисления выполняют при помощи прокладочного инструмента:

навигационного транспортира,

параллельной линейки,

циркуля-измерителя,

чертежного циркуля с карандашом.

Линии наносят простым карандашом и убирают мягкой резинкой.

Снять с карты координаты заданной точки. Наиболее точно эту задачу можно выполнить с помощью циркуля-измерителя. Для снятия широты одну ножку циркуля ставят в заданную точку, а другую так подводят к ближайшей параллели, чтобы описанная циркулем дуга ее касалась.

Не изменяя угла раствора ножек циркуля, подносят его к вертикальной рамке карты и ставят одну ножку на параллель, до которой измерялось расстояние.
Другую ножку ставят на внутреннюю половину вертикальной рамки в сторону заданной точки и снимают отсчет широты с точностью до 0,1 наименьшего деления рамки. Долготу заданной точки определяют таким же образом, только расстояние измеряют до ближайшего меридиана, а отсчет долготы снимают по верхней или нижней рамке карты.

Нанести точку по заданным координатам. Работу выполняют обычно с помощью параллельной линейки и циркуля-измерителя. Линейку прикладывают к ближайшей параллели и отодвигают одну ее половину до заданной широты. Затем раствором циркуля берут расстояние от ближайшего меридиана до заданной долготы по верхней или нижней рамке карты. Одну ножку циркуля ставят у среза линейки на тот же меридиан, а другой ножкой делают слабый укол также у среза линейки в сторону заданной долготы. Место укола и будет являться заданной точкой

Измерить расстояние между двумя точками на карте или отложить известное расстояние от заданной точки. Если расстояние между точками небольшое и может быть измерено одним раствором циркуля, то ножки циркуля ставят в одну и другую точки, не меняя его раствора, приставляют к боковой рамке карты в той же примерно широте, в которой лежит измеряемое расстояние.

Большое расстояние при измерении разбивают на части. Каждую часть расстояния измеряют милями в широте данного участка. Можно также раствором циркуля взять с боковой рамки карты "круглое" число миль (10,20 и т. д.) и сосчитать, сколько раз уложить это число по всей измеряемой линии.
При этом мили снимают с боковой рамки карты примерно против середины измеряемой линии. Остаток расстояния измеряют обычным способом. Если нужно отложить от заданной точки небольшое расстояние, то его снимают циркулем с боковой рамки карты и откладывают на проложенной линии.
Расстояние берут с рамки примерно в широте заданной точки с учетом его направления. Если откладываемое расстояние большое, то берут с рамки карты примерно против середины заданного расстояния 10, 20 миль, и т.д. и откладывают нужное число раз. От последней точки отмеряют остаток расстояния.

Измерить направление проложенной на карте линии истинного курса или пеленга. Параллельную линейку прикладывают к линии на карте и приставляют к срезу линейки транспортир.
Транспортир перемещают вдоль линейки до тех пор, пока его центральный штрих не совпадет с каким-либо меридианом. Деление на транспортире, через которое проходит тот же меридиан, соответствует направлению курса или пеленга.
Так как на транспортире нанесены два отсчета, то при измерении направления проложенной линии следует учитывать четверть горизонта, в которой лежит заданное направление.

Проложить от заданной точки линию истинного курса или пеленга. При выполнении этой задачи используют транспортир и параллельную линейку. Транспортир накладывают на карту так, чтобы его центральный штрих совпал с каким-либо меридианом.

Затем транспортир поворачивают в ту и другую сторону до тех пор, пока с тем же меридианом не совпадет штрих дуги, соответствующей отсчету заданного курса или пеленга. К нижнему срезу линейки транспортира прикладывают параллельную линейку, и, убрав транспортир, раздвигают ее, подводя к заданной точке.

По срезу линейки в нужную сторону проводят линию. Перенести точку с одной карты на другую. С карты снимают направление и расстояние до заданной точки от какого-либо маяка или другого ориентира, нанесенного на обе карты.
На другой карте, проложив от этого ориентира нужное направление и отложив по нему расстояние, получают заданную точку. Эта задача является комбинированной

Если в задаче линейного программирования имеется только две переменные, то ее можно решить графическим методом.

Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными и :
(1.1) ;
(1.2)
Здесь , есть произвольные числа. Задача может быть как на нахождение максимума (max), так и на нахождение минимума (min). В системе ограничений могут присутствовать как знаки , так и знаки .

Построение области допустимых решений

Графический метод решения задачи (1) следующий.
Вначале мы проводим оси координат и и выбираем масштаб. Каждое из неравенств системы ограничений (1.2) определяет полуплоскость, ограниченную соответствующей прямой.

Так, первое неравенство
(1.2.1)
определяет полуплоскость, ограниченную прямой . С одной стороны от этой прямой , а с другой стороны . На самой прямой . Чтобы узнать, с какой стороны выполняется неравенство (1.2.1), мы выбираем произвольную точку, не лежащую на прямой. Далее подставляем координаты этой точки в (1.2.1). Если неравенство выполняется, то полуплоскость содержит выбранную точку. Если неравенство не выполняется, то полуплоскость расположена с другой стороны (не содержит выбранную точку). Заштриховываем полуплоскость, для которой выполняется неравенство (1.2.1).

Тоже самое выполняем для остальных неравенств системы (1.2). Так мы получим заштрихованных полуплоскостей. Точки области допустимых решений удовлетворяют всем неравенствам (1.2). Поэтому, графически, область допустимых решений (ОДР) является пересечением всех построенных полуплоскостей. Заштриховываем ОДР. Она представляет собой выпуклый многоугольник, грани которого принадлежат построенным прямым. Также ОДР может быть неограниченной выпуклой фигурой, отрезком, лучом или прямой.

Может возникнуть и такой случай, что полуплоскости не содержат общих точек. Тогда областью допустимых решений является пустое множество. Такая задача решений не имеет.

Можно упростить метод. Можно не заштриховывать каждую полуплоскость, а вначале построить все прямые
(2)
Далее выбрать произвольную точку, не принадлежащую ни одной из этих прямых. Подставить координаты этой точки в систему неравенств (1.2). Если все неравенства выполняются, то область допустимых решений ограничена построенными прямыми и включает в себя выбранную точку. Заштриховываем область допустимых решений по границам прямых так, чтобы оно включало в себя выбранную точку.

Если хотя бы одно неравенство не выполняется, то выбираем другую точку. И так далее, пока не будет найдены одна точка, координаты которой удовлетворяют системе (1.2).

Нахождение экстремума целевой функции

Итак, мы имеем заштрихованную область допустимых решений (ОДР). Она ограничена ломаной, состоящей из отрезков и лучей, принадлежащих построенным прямым (2). ОДР всегда является выпуклым множеством. Оно может быть как ограниченным множеством, так и не ограниченным вдоль некоторых направлений.

Теперь мы можем искать экстремум целевой функции
(1.1) .

Для этого выбираем любое число и строим прямую
(3) .
Для удобства дальнейшего изложения считаем, что эта прямая проходит через ОДР. На этой прямой целевая функция постоянна и равна . такая прямая называется линией уровня функции . Эта прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На одной полуплоскости
.
На другой полуплоскости
.
То есть с одной стороны от прямой (3) целевая функция возрастает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3), тем больше будет значение . С другой стороны от прямой (3) целевая функция убывает. И чем дальше мы отодвинем точку от прямой (3) в другую сторону, тем меньше будет значение . Если мы проведем прямую, параллельную прямой (3), то новая прямая также будет линией уровня целевой функции, но с другим значением .

Таким образом, чтобы найти максимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3), максимально удаленную от нее в сторону возрастания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР. Чтобы найти минимальное значение целевой функции, надо провести прямую, параллельную прямой (3) и максимально удаленную от нее в сторону убывания значений , и проходящую хотя бы через одну точку ОДР.

Если ОДР неограниченна, то может возникнуть случай, когда такую прямую провести нельзя. То есть как бы мы ни удаляли прямую от линии уровня (3) в сторону возрастания (убывания) , то прямая всегда будет проходить через ОДР. В этом случае может быть сколь угодно большим (малым). Поэтому максимального (минимального) значения нет. Задача решений не имеет.

Рассмотрим случай, когда крайняя прямая, параллельная произвольной прямой вида (3), проходит через одну вершину многоугольника ОДР. Из графика определяем координаты этой вершины. Тогда максимальное (минимальное) значение целевой функции определяется по формуле:
.
Решением задачи является
.

Также может встретиться случай, когда прямая параллельна одной из граней ОДР. Тогда прямая проходит через две вершины многоугольника ОДР. Определяем координаты и этих вершин. Для определения максимального (минимального) значения целевой функции, можно использовать координаты любой из этих вершин:
.
Задача имеет бесконечно много решений. Решением является любая точка, расположенная на отрезке между точками и , включая сами точки и .

Пример решения задачи линейного программирования графическим методом

Условие задачи

Фирма выпускает платья двух моделей А и В. При этом используется ткань трех видов. На изготовление одного платья модели А требуется 2 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. На изготовление одного платья модели В требуется 3 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида, 2 м ткани третьего вида. Запасы ткани первого вида составляют 21 м, второго вида - 10 м, третьего вида - 16 м. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 400 ден. ед., одного изделия типа В - 300 ден. ед.

Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход. Задачу решить графическим методом.

Решение

Пусть переменные и означают количество произведенных платьев моделей А и В, соответственно. Тогда количество израсходованной ткани первого вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани второго вида составит:
(м)
Количество израсходованной ткани третьего вида составит:
(м)
Поскольку произведенное количество платьев не может быть отрицательным, то
и .
Доход от произведенных платьев составит:
(ден. ед.)

Тогда экономико-математическая модель задачи имеет вид:

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (10,5; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 10) и (10; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (8; 0).

Заштриховываем область, чтобы точка (2; 2) попала в заштрихованную часть. Получаем четырехугольник OABC.

(П1.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 4) и (3; 0).

Далее замечаем, что поскольку коэффициенты при и целевой функции положительны (400 и 300), то она возрастает при увеличении и . Проводим прямую, параллельную прямой (П1.1), максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку четырехугольника OABC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

.
То есть, для получения наибольшего дохода, необходимо изготовить 8 платьев модели А. Доход при этом составит 3200 ден. ед.

Пример 2

Условие задачи

Решить задачу линейного программирования графическим методом.

Решение

Решаем графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 6) и (6; 0).

Строим прямую .
Отсюда .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (7; 2).

Строим прямую .
Строим прямую (ось абсцисс).

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область по границам построенных прямых, чтобы точка (4; 1) попала в заштрихованную часть. Получаем треугольник ABC.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
.
При .
При .
Проводим прямую линию уровня через точки (0; 6) и (4; 0).
Поскольку целевая функция увеличивается при увеличении и , то проводим прямую, параллельную линии уровня и максимально удаленную от нее в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку треугольника АВC. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.

Решение задачи: ;

Ответ

Пример отсутствия решения

Условие задачи

Решить графически задачу линейного программирования. Найти максимальное и минимальное значение целевой функции.

Решение

Решаем задачу графическим методом.
Проводим оси координат и .

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 8) и (2,667; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 3) и (6; 0).

Строим прямую .
При .
При .
Проводим прямую через точки (3; 0) и (6; 3).

Прямые и являются осями координат.

Область допустимых решений (ОДР) ограничена построенными прямыми и осями координат. Чтобы узнать, с какой стороны, замечаем, что точка принадлежит ОДР, поскольку удовлетворяет системе неравенств:

Заштриховываем область, чтобы точка (3; 3) попала в заштрихованную часть. Получаем неограниченную область, ограниченную ломаной ABCDE.

Строим произвольную линию уровня целевой функции, например,
(П3.1) .
При .
При .
Проводим прямую через точки (0; 7) и (7; 0).
Поскольку коэффициенты при и положительны, то возрастает при увеличении и .

Чтобы найти максимум, нужно провести параллельную прямую, максимально удаленную в сторону возрастания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Однако, поскольку область неограниченна со стороны больших значений и , то такую прямую провести нельзя. Какую бы прямую мы не провели, всегда найдутся точки области, более удаленные в сторону увеличения и . Поэтому максимума не существует. можно сделать сколь угодно большой.

Ищем минимум. Проводим прямую, параллельную прямой (П3.1) и максимально удаленную от нее в сторону убывания , и проходящую хотя бы через одну точку области ABCDE. Такая прямая проходит через точку C. Из построения определяем ее координаты.
.
Минимальное значение целевой функции:

Ответ

Максимального значения не существует.
Минимальное значение
.

«Иллюстративные и графические задачи в школьном курсе физики».

Задача учителя помочь ученику разобраться в методах использования знаний для решения конкретных ситуаций. Структура и содержание ЕГЭ и ГИА постоянно меняется: увеличивается доля заданий, предполагающих обработку и представление информации в различных видах (таблицы, рисунки, схемы, диаграммы, графики), также увеличивается количество качественных вопросов, проверяющих знание физических величин, понимание явлений и смысл физических законов. Большая часть заданий ЕГЭ и ГИА по физике – это задания-графики, поэтому неудивительно, что меня заинтересовала тема «Решение графических и иллюстративных задач на уроках физики».

Часто на уроках физики, особенно в 7-9 классах, предлагаю учащимся задачи-иллюстрации.Обычно использую готовые задачи из журнала «Физика в школен» и книги Н.С.Бесчастной "Физика в рисунках" (приложение1). Последнее пособие включает задачи-рисунки по курсу физики VII- VIII классов, отражающие физические явления и их применение в технике и быту. Они развивают наблюдательность учащихся, учат их самостоятельно анализировать и объяснять окружающие явления, применяя знания, полученные на уроках. Но, с учетом современных требований, я думаю, педагогам будет проще использовать это замечательное пособие в современной форме, то есть, включая материал в слайды презентации, пусть даже и с не очень современными картинками (приложение 2). Как правило, к концу 7 класса учащиеся самостоятельно могут их составить и изобразить свои задачи-рисунки.

Кроме этого часто использую на уроках пособия Ушакова М.А., Ушакова К.М. Дидактические карточки-задания. 7,8,9, 10, 11 класс (приложение 3). При решении обычных текстовых задач ученики часто избегают анализа задачи и стараются найти соответствие между величинами, указанными в условии, и их обозначениями в формуле. Такой путь решения задач не способствует развитию физического мышления и переносу знаний в область практики, где ученик должен самостоятельно определить нужные величины для решения поставленной проблемы. К тому же, приводимые в текстовых задачах исходные данные являются своеобразной подсказкой при решении задачи. В заданиях, предложенных в данных пособиях, информация необходимая для решения проблемы, находится учеником самостоятельно путем анализа изображенной на рисунках ситуации (приложение 4).

Как показали наблюдения, использование наглядных задач на уроках физики поможет не только формированию практических умений и навыков учащихся, но и развитию их логического умения и наблюдательности.

Графическими принято называть задачи, в которых условия даны в графической форме, то есть в виде функциональных диаграмм. Большинство графических упражнений и задач можно разделить на несколько групп: "чтение" графиков, графические упражнения, решение задач графическим способом, графическое изображение результатов измерений. Применение каждой из них преследует определенные цели.

Анализ уже начерченных графиков открывает широкие методические возможности обучения:

1. С помощью графика можно наглядно представить функциональную зависимость физических величин, выяснить, в чем смысл прямой и обратной пропорциональности между ними, узнать, как быстро растет или падает численное значение одной физической величины в зависимости от изменения другой, когда он достигает наибольшего или наименьшего значения.

2. График дает возможность описать, как протекает тот или иной физический процесс, позволяет наглядно изобразить наиболее существенные стороны его, обратить внимание учащихся именно на то, что является наиболее важным в изучаемом явлении.

3. Чтение графиков может заключаться и в том, что по начерченному графику, изображающему физическую закономерность, записывается ее формула.

Графические упражнения могут состоять в следующем: вычерчивание графика по табличным данным, на основании одного графика построение другого, вычерчивание графика по формуле, выражающей физическую закономерность. Эти упражнения должны выработать у учащихся навыки черчения графиков и умения, прежде всего удобно выбирать ту или иную ось координат и масштаб так, чтобы добиться возможно большей точности построения графика, а затем и отсчета по нему, разумно ограничивая себя размерами чертежа. Следует обратить внимание учащихся на то, что по начерченному по точкам графику легко определить и промежуточные значения физических величин, не указанных в таблице. Наконец, при выполнении графических упражнений учащиеся убеждаются в том, что график, построенный по табличным данным, нагляднее, чем таблица, иллюстрирует выраженную ими зависимость между численными значениями физических величин. Пособия Ушакова М.А., Ушакова К.М. Дидактические карточки-задания. 7,8,9, 10, 11 класс содержат также большое количество графических задач (приложение5).

Преподавание физики непосредственно связано с проведение демонстрационного физического эксперимента и лабораторных работ. Лабораторные работы предусмотрены учебными программами по физике и являются обязательными. Одни только манипуляции с физическими приборами дают, конечно, навыки работы с ними, но не приучают к анализу отдельных измерений, к оценке погрешностей, а в ряде случаев даже не способствуют пониманию наиболее важных сторон явления, для уяснения которых была поставлена лабораторная работа. Между тем, пользуясь графиками, можно легко контролировать и улучшать наблюдения и измерения, например в тех случаях, когда экспериментальные данные не ложатся на заданной кривой. Если ход физического процесса, наблюдаемого в лабораторной работе, неизвестен, то график дает представление о нем и возможность выяснить, какая существует зависимость между физическими величинами. Наконец, график позволяет производить ряд дополнительных расчетов. Многие лабораторные измерения требуют такой обработки и в первую очередь представления результатов в виде графиков (приложение6).

Применение на уроках иллюстративных и графических задач способствует не только актуализации знаний учащихся, но и прочности их усвоения, а также совершенствованию практических умений и навыков учащихся. Работа по выработке алгоритмов решения графических и иллюстративных задач – совместная работа учителя и ученика, которая ведет к сформированности отдельных умений, имеющих прямое отношение к ключевым компетенциям, таких как: умение сравнивать, устанавливать причинно-следственные связи, классифицировать, анализировать, проводить аналогии, обобщать, доказывать, выделять главное, выдвигать гипотезу, синтезировать. Если учащийся является активным участником учебного процесса, то и ученик и учитель получают удовлетворение от работы и богатую информацию для развития творчества.

Приложение 1.

(электронная версия пособия представлена на сайте )

Приложение 2.

Который из спортсменов первым достигнет финиша при прочих равных условиях и почему?

Который из этих мальчиков действует правильно при оказании помощи тонущему?

Одинакова ли сила трения между колесами и рельсами при движении двух одинаковых цистерн?

В какой момент легче поднимать ведро из колодца?

Какой паре гусей теплее и почему?

Приложение 3.