Решатель уравнений онлайн с подробным решением. Как решать уравнение с переменными (неизвестными) в обеих частях уравнения. Корни квадратного уравнения
В курсе математики 7 класса впервые встречаются с уравнениями с двумя переменными , но изучаются они лишь в контексте систем уравнений с двумя неизвестными. Именно поэтому из поля зрения выпадает целый ряд задач, в которых на коэффициенты уравнения введены некоторые условия, их ограничивающие. Кроме того, остаются без внимания и методы решения задач типа «Решить уравнение в натуральных или целых числах», хотя в материалах ЕГЭ и на вступительных экзаменах задачи такого рода встречаются все чаще и чаще.
Какое уравнение будет называться уравнением с двумя переменными?
Так, например, уравнения 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 или xy = 12 являются уравнениями с двумя переменными.
Рассмотрим уравнение 2x – y = 1. Оно обращается в верное равенство при x = 2 и y = 3, поэтому эта пара значений переменных является решением рассматриваемого уравнения.
Таким образом, решением любого уравнения с двумя переменными является множество упорядоченных пар (x; y), значений переменных, которые это уравнение обращают в верное числовое равенство.
Уравнение с двумя неизвестными может:
а) иметь одно решение. Например, уравнение x 2 + 5y 2 = 0 имеет единственное решение (0; 0);
б) иметь несколько решений. Например, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 имеет 4 решения: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);
в) не иметь решений. Например, уравнение x 2 + y 2 + 1 = 0 не имеет решений;
г) иметь бесконечно много решений. Например, x + y = 3. Решениями этого уравнения будут являться числа, сумма которых равна 3. Множество решений данного уравнения можно записать в виде (k; 3 – k), где k – любое действительное число.
Основными методами решения уравнений с двумя переменными являются методы, основанные на разложении выражений на множители, выделение полного квадрата, использование свойств квадратного уравнения, ограниченности выражений, оценочные методы. Уравнение, как правило, преобразовывают к виду, из которого можно получить систему для нахождения неизвестных.
Разложение на множители
Пример 1.
Решить уравнение: xy – 2 = 2x – y.
Решение.
Группируем слагаемые с целью разложения на множители:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Из каждой скобки вынесем общий множитель:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Имеем:
y = 2, x – любое действительное число или x = -1, y – любое действительное число.
Таким образом, ответом являются все пары вида (x; 2), x € R и (-1; y), y € R.
Равенство нулю неотрицательных чисел
Пример 2.
Решить уравнение: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Решение.
Группируем:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Теперь каждую скобку можно свернуть по формуле квадрата разности.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, только если 3x – 2 = 0 и 2y – 3 = 0.
А значит, x = 2/3 и y = 3/2.
Ответ: (2/3; 3/2).
Оценочный метод
Пример 3.
Решить уравнение: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Решение.
В каждой скобке выделим полный квадрат:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Оценим 
значение выражений, стоящих в скобках.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 и (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, тогда левая часть уравнения всегда не меньше 2. Равенство возможно, если:
(x + 1) 2 + 1 = 1 и (y – 2) 2 + 2 = 2, а значит x = -1, y = 2.
Ответ: (-1; 2).
Познакомимся с еще одним методом решения уравнений с двумя переменными второй степени. Этот метод заключается в том, что уравнение рассматривается как квадратное относительно какой-либо переменной .
Пример 4.
Решить уравнение: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Решение.
Решим уравнение как квадратное относительно x. Найдем дискриминант:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Уравнение будет иметь решение только при D = 0, т. е. в том случае, если y = 4. Подставляем значение y в исходное уравнение и находим, что x = 3.
Ответ: (3; 4).
Часто в уравнениях с двумя неизвестными указывают ограничения на переменные .
Пример 5.
Решить уравнение в целых числах: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Решение.
Перепишем уравнение в виде x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Правая часть полученного уравнения при делении на 5 дает в остатке 2. Следовательно, x 2 не делится на 5. Но квадрат числа, не делящегося на 5, дает в остатке 1 или 4. Таким образом, равенство невозможно и решений нет.
Ответ: нет корней.
Пример 6.
Решить уравнение: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Решение.
Выделим полные квадраты в каждой скобке:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Левая часть уравнения всегда больше или равна 3. Равенство возможно при условии |x| – 2 = 0 и y + 3 = 0. Таким образом, x = ± 2, y = -3.
Ответ: (2; -3) и (-2; -3).
Пример 7.
Для каждой пары целых отрицательных чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, вычислить сумму (x + y). В ответе указать наименьшую из сумм.
Решение.
Выделим полные квадраты:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Так как x и y – целые числа, то их квадраты также целые числа. Сумму квадратов двух целых чисел, равную 37, получим, если складываем 1 + 36. Следовательно:
(x – y) 2 = 36 и (y + 2) 2 = 1
(x – y) 2 = 1 и (y + 2) 2 = 36.
Решая эти системы и учитывая, что x и y – отрицательные, находим решения: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Ответ: -17.
Не стоит отчаиваться, если при решении уравнений с двумя неизвестными у вас возникают трудности. Немного практики, и вы сможете справиться с любыми уравнениями.
Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с двумя переменными?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ число 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена
Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x - 2 . Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:
|
Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки. | ||||||||||||
|
2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
|
2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
|
2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
|
2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Последнее число - это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ число -1 не является корнем многочлена
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ число 2 не является корнем многочлена
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ число -2 является корнем многочлена
Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:
|
Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки. | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
|
-2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
Многочлен 2x 2 + 5x - 3 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант , а можно поискать корень среди делителей числа -3. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -3
|
Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки. | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
|
-3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)(2x - 1)
А корнями уравнения являются.
Цели:
- Систематизировать и обобщить знания и умения по теме: Решения уравнений третьей и четвертой степени.
- Углубить знания, выполнив ряд заданий, часть из которых не знакома или по своему типу, или способу решения.
- Формирование интереса к математике через изучение новых глав математики, воспитание графической культуры через построение графиков уравнений.
Тип урока : комбинированный.
Оборудование: графопроектор.
Наглядность: таблица «Теорема Виета».
Ход урока
1. Устный счет
а) Чему равен остаток от деления многочлена р n (х) = а n х n + а n-1 х n-1 + ... + а 1 х 1 + a 0 на двучлен х-а?
б) Сколько корней может иметь кубическое уравнение?
в) С помощью чего мы решаем уравнение третьей и четвертой степени?
г) Если b четное число в квадратном уравнение, то чему равен Д и х 1 ;х 2
2. Самостоятельная работа (в группах)
Составить уравнение, если известны корни (ответы к заданиям закодированы) Используется «Теорема Виета»
1 группа
Корни: х 1 = 1; х 2 = -2; х 3 = -3; х 4 = 6
Составить уравнение:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
с=-2-3+6+6-12-18= -23; с= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
е=1(-2)(-3)6=36
х 4 - 2 х 3 - 23х 2 - 12 х + 36 = 0 (это уравнение решает потом 2 группа на доске)
Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 36.
р = ±1;±2;±3;±4;±6…
р 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Число 1 удовлетворяет уравнению, следовательно, =1 корень уравнения. По схеме Горнера
р 3 (x) = х 3 -х 2 -24x -36
р 3 (-2) = -8 -4 +48 -36=0, х 2 =-2
р 2 (x) = х 2 -3х -18=0
х 3 =-3, х 4 =6
Ответ: 1;-2;-3;6 сумма корней 2 (П)
2 группа
Корни: х 1 = -1; х 2 = х 3 =2; х 4 =5
Составить уравнение:
B=-1+2+2+5-8; b= -8
с=2(-1)+4+10-2-5+10=15; с=15
D=-4-10+20-10= -4; d=4
е=2(-1)2*5=-20;е=-20
8+15+4х-20=0 (это уравнение решает на доске 3 группа)
р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
р 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
р 3 (x) = х 3 -9х 2 +24x -20
р 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
р 2 (x) = х 2 -7х +10=0 х 1 =2; х 2 =5
Ответ: -1;2;2;5 сумма корней 8(Р)
3 группа
Корни: х 1 = -1; х 2 =1; х 3 =-2; х 4 =3
Составить уравнение:
В=-1+1-2+3=1;в=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
е=-1*1*(-2)*3=6
х 4 - х 3 - 7х 2 + х + 6 = 0 (это уравнение решает потом на доске 4 группа)
Решение. Целые корни ищем среди делителей числа 6.
р = ±1;±2;±3;±6
р 4 (1)=1-1-7+1+6=0
р 3 (x) = х 3 - 7x -6
р 3 (-1) = -1+7-6=0
р 2 (x) = х 2 -х -6=0; х 1 =-2; х 2 =3
Ответ:-1;1;-2;3 Сумма корней 1(О)
4 группа
Корни: х 1 = -2; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-3
Составить уравнение:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
с=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
е=-2*(-2)*(-3)*3=-36;е=-36
х 4 + 4х 3 – 5х 2 – 36х -36 = 0 (это уравнение решает потом 5 группа на доске)
Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -36
р = ±1;±2;±3…
р(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
р 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
р 3 (х) = х 3 +2х 2 -9х-18 = 0
р 3 (-2)= -8 + 8 + 18-18 = 0
р 2 (х) = х 2 -9 = 0; x=±3
Ответ: -2; -2; -3; 3 Сумма корней-4 (Ф)
5 группа
Корни: х 1 = -1; х 2 =-2; х 3 =-3; х 4 =-4
Составить уравнение
х 4 + 10х 3 + 35х 2 + 50х + 24 = 0 (это уравнение решает потом 6группа на доске)
Решение . Целые корни ищем среди делителей числа 24.
р = ±1;±2;±3
р 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
р 3 (х) = x- 3 + 9х 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = О
р 2 (х) = x 2 + 7x+ 12 = 0
Ответ:-1;-2;-3;-4 сумма-10 (И)
6 группа
Корни: х 1 = 1; х 2 = 1; х 3 = -3; х 4 = 8
Составить уравнение
B=1+1-3+8=7;b=-7
с=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24= -43; d=43
х 4 - 7х 3 - 13х 2 + 43 x - 24 = 0 (это уравнение решает потом 1 группа на доске)
Решение . Целые корни ищем среди делителей числа -24.
р 4 (1)=1-7-13+43-24=0
р 3 (1)=1-6-19+24=0
р 2 (x)= х 2 -5x - 24 = 0
х 3 =-3, х 4 =8
Ответ: 1;1;-3;8 сумма 7 (Л)
3. Решение уравнений с параметром
1. Решить уравнение х 3 + 3х 2 + mх - 15 = 0; если один из корней равен (-1)
Ответ записать в порядке возрастания
R=Р 3 (-1)=-1+3-m-15=0
х 3 + 3х 2 -13х - 15 = 0; -1+3+13-15=0
По условию х 1 = - 1; Д=1+15=16
Р 2 (х) = х 2 +2х-15 = 0
х 2 =-1-4 = -5;
х 3 =-1 + 4 = 3;
Ответ:- 1;-5; 3
В порядке возрастания: -5;-1;3. (Ь Н Ы)
2. Найти все корни многочлена х 3 - 3х 2 + ах - 2а + 6, если остатки от его деления на двучлены х-1 и х +2 равны.
Решение: R=Р 3 (1) = Р 3 (-2)
Р 3 (1) = 1-3 + а- 2а + 6 = 4-а
Р 3 (-2) = -8-12-2а-2а + 6 = -14-4а
x 3 -Зх 2 -6х + 12 + 6 = х 3 -Зх 2 -6х + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(х-3)(х 2 -6) = 0
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
2 группа . Корни: -3; -2; 1; 2;3 группа . Корни: -1; 2; 6; 10;
4 группа . Корни: -3; 2; 2; 5;
5 группа . Корни: -5; -2; 2; 4;
6 группа . Корни: -8; -2; 6; 7.
В простых алгебраических уравнениях переменная находится только на одной стороне уравнения, а вот в более сложных уравнениях переменные могут находиться на обеих сторонах уравнения. Решая такие уравнения, всегда помните, что любая операция, которая выполняется на одной стороне уравнения, должна быть выполнена и на другой стороне. С помощью этого правила переменные можно переносить с одной стороны уравнения на другую, чтобы изолировать их и вычислить их значения.
Шаги
Решение уравнений с одной переменной на обеих сторонах уравнения
-
Примените распределительный закон (если нужно). Этот закон гласит, что a (b + c) = a b + a c {\displaystyle a(b+c)=ab+ac} . Распределительный закон позволяет раскрыть скобки с помощью умножения члена, стоящего за скобками, на каждый член, заключенный в скобки.
- Например, если дано уравнение , воспользуйтесь распределительным законом, чтобы умножить член, стоящий за скобками, на каждый член в скобках:
2 (10 − 2 x) = 4 (2 x + 2) {\displaystyle 2(10-2x)=4(2x+2)}
- Например, если дано уравнение , воспользуйтесь распределительным законом, чтобы умножить член, стоящий за скобками, на каждый член в скобках:
-
Избавьтесь от переменной на одной стороне уравнения. Для этого вычтите или прибавьте такой же член с переменной. Например, если член с переменной вычитается, прибавьте такой же член, чтобы избавится от него; если же член с переменной прибавляется, вычтите такой же член, чтобы избавится от него. Как правило, проще избавиться от переменной с меньшим коэффициентом.
- Например, в уравнении 20 − 4 x = 8 x + 8 {\displaystyle 20-4x=8x+8}
избавьтесь от члена − 4 x {\displaystyle -4x}
; для этого прибавьте 4 x {\displaystyle 4x}
:
20 − 4 x + 4 x = 8 x + 8 {\displaystyle 20-4x+4x=8x+8} .
- Например, в уравнении 20 − 4 x = 8 x + 8 {\displaystyle 20-4x=8x+8}
избавьтесь от члена − 4 x {\displaystyle -4x}
; для этого прибавьте 4 x {\displaystyle 4x}
:
-
Следите, чтобы равенство не нарушалось. Любая математическая операция, выполняемая на одной стороне уравнения, должна быть выполнена и на другой стороне. Поэтому если вы прибавляете или вычитаете какой-либо член, чтобы избавиться от переменной на одной стороне уравнения, прибавьте или вычтите тот же член на другой стороне уравнения.
- Например, если к одной стороне уравнения прибавить 4 x {\displaystyle 4x}
, чтобы избавиться от переменной, нужно прибавить 4 x {\displaystyle 4x}
и к другой стороне уравнения:
- Например, если к одной стороне уравнения прибавить 4 x {\displaystyle 4x}
, чтобы избавиться от переменной, нужно прибавить 4 x {\displaystyle 4x}
и к другой стороне уравнения:
-
Упростите уравнение за счет сложения или вычитания подобных членов. На данном этапе переменная должна находиться на одной стороне уравнения.
- Например:
20 − 4 x + 4 x = 8 x + 8 + 4 x {\displaystyle 20-4x+4x=8x+8+4x}
- Например:
-
Перенесите свободные члены на одну сторону уравнения (если нужно). Необходимо сделать так, чтобы член с переменной находился на одной стороне, а свободный член – на другой. Чтобы перенести свободный член (и избавиться от него на одной стороне уравнения), прибавьте или вычтите его из обеих сторон уравнения.
- Например, чтобы избавиться от свободного члена + 8 {\displaystyle +8}
на стороне с переменной, вычтите 8 из обеих сторон уравнения:
20 = 12 x + 8 {\displaystyle 20=12x+8}
20 − 8 = 12 x + 8 − 8 {\displaystyle 20-8=12x+8-8}
- Например, чтобы избавиться от свободного члена + 8 {\displaystyle +8}
на стороне с переменной, вычтите 8 из обеих сторон уравнения:
-
Избавьтесь от коэффициента при переменной. Для этого выполните операцию, противоположную операции между коэффициентом и переменной. В большинстве случаев просто разделите обе стороны уравнения на коэффициент при переменной. Помните, что любая математическая операция, выполняемая на одной стороне уравнения, должна быть выполнена и на другой стороне.
- Например, чтобы избавиться от коэффициента 12, разделите обе стороны уравнения на 12:
12 = 12 x {\displaystyle 12=12x}
12 12 = 12 x 12 {\displaystyle {\frac {12}{12}}={\frac {12x}{12}}}
1 = x {\displaystyle 1=x}
- Например, чтобы избавиться от коэффициента 12, разделите обе стороны уравнения на 12:
-
Проверьте ответ. Для этого подставьте найденное значение в исходное уравнение. Если равенство соблюдается, ответ правильный.
- Например, если 1 = x {\displaystyle 1=x}
, подставьте 1 (вместо переменной) в исходное уравнение:
2 (10 − 2 x) = 4 (2 x + 2) {\displaystyle 2(10-2x)=4(2x+2)}
2 (10 − 2 (1)) = 4 (2 (1) + 2) {\displaystyle 2(10-2(1))=4(2(1)+2)}
2 (10 − 2) = 4 (2 + 2) {\displaystyle 2(10-2)=4(2+2)}
20 − 4 = 8 + 8 {\displaystyle 20-4=8+8}
16 = 16 {\displaystyle 16=16}
Решение системы уравнений с двумя переменными
-
Изолируйте переменную в одном уравнении. Возможно, в одном из уравнений переменная уже будет изолирована; в противном случае воспользуйтесь математическими операциями, чтобы изолировать переменную на одной стороне уравнения. Помните, что любая математическая операция, выполняемая на одной стороне уравнения, должна быть выполнена и на другой стороне.
- Например, дано уравнение . Чтобы изолировать переменную y {\displaystyle y}
, вычтите 1 из обеих сторон уравнения:
y + 1 = x − 1 {\displaystyle y+1=x-1}
y + 1 − 1 = x − 1 − 1 {\displaystyle y+1-1=x-1-1}
- Например, дано уравнение . Чтобы изолировать переменную y {\displaystyle y}
, вычтите 1 из обеих сторон уравнения:
-
Подставьте значение (в виде выражения) изолированной переменной в другое уравнение. Убедитесь, что подставляете выражение целиком. Получится уравнение с одной переменной, которое легко решить.
- Например, первое уравнение имеет вид , а во второе уравнение приведено к виду y = x − 2 {\displaystyle y=x-2}
. В этом случае в первое уравнение вместо y {\displaystyle y}
подставьте x − 2 {\displaystyle x-2}
:
2 x = 20 − 2 y {\displaystyle 2x=20-2y}
- Например, первое уравнение имеет вид , а во второе уравнение приведено к виду y = x − 2 {\displaystyle y=x-2}
. В этом случае в первое уравнение вместо y {\displaystyle y}
подставьте x − 2 {\displaystyle x-2}
:
-
Найдите значение переменной. Для этого перенесите переменную на одну сторону уравнения. Затем перенесите свободные члены на другую сторону уравнения. Потом изолируйте переменную с помощью операции умножения или деления.
- Например:
2 x = 20 − 2 (x − 2) {\displaystyle 2x=20-2(x-2)}
2 x = 20 − 2 x + 4 {\displaystyle 2x=20-2x+4}
2 x = 24 − 2 x {\displaystyle 2x=24-2x}
2 x + 2 x = 24 − 2 x + 2 x {\displaystyle 2x+2x=24-2x+2x}
4 x = 24 {\displaystyle 4x=24}
4 x 4 = 24 4 {\displaystyle {\frac {4x}{4}}={\frac {24}{4}}}
x = 6 {\displaystyle x=6}
- Например:
-
Найдите значение другой переменной. Для этого найденное значение переменной подставьте в одно из уравнений. Получится уравнение с одной переменной, которое легко решить. Имейте в виду, что найденное значение переменной можно подставить в любое уравнение.
- Например, если x = 6 {\displaystyle x=6}
, подставьте 6 (вместо x {\displaystyle x}
) во второе уравнение:
y = x − 2 {\displaystyle y=x-2}
y = (6) − 2 {\displaystyle y=(6)-2}
y = 4 {\displaystyle y=4}
- Например, если x = 6 {\displaystyle x=6}
, подставьте 6 (вместо x {\displaystyle x}
) во второе уравнение:
-
Проверьте ответ. Для этого подставьте значения обеих переменных в одно из уравнений. Если равенство соблюдается, ответ правильный.
- Например, если вы нашли, что x = 6 {\displaystyle x=6}
и y = 4 {\displaystyle y=4}
, подставьте эти значения в одно из исходных уравнений:
2 x = 20 − 2 y {\displaystyle 2x=20-2y}
2 (6) = 20 − 2 (4) {\displaystyle 2(6)=20-2(4)}
12 = 20 − 8 {\displaystyle 12=20-8}
12 = 12 {\displaystyle 12=12}
- Например, если вы нашли, что x = 6 {\displaystyle x=6}
и y = 4 {\displaystyle y=4}
, подставьте эти значения в одно из исходных уравнений:
Решение уравнений
-
Решите следующее уравнение с одной переменной, используя распределительный закон: .
5 (x + 4) = 6 x − 5 {\displaystyle 5(x+4)=6x-5}- Избавьтесь от 5 x {\displaystyle 5x}
на левой стороне уравнения; для этого вычтите 5 x {\displaystyle 5x}
из обеих сторон уравнения:
5 x + 20 = 6 x − 5 {\displaystyle 5x+20=6x-5}
5 x + 20 − 5 x = 6 x − 5 − 5 x {\displaystyle 5x+20-5x=6x-5-5x} - Изолируйте переменную; для этого прибавьте 5 к обеим сторонам уравнения:
20 = x − 5 {\displaystyle 20=x-5}
20 + 5 = x − 5 + 5 {\displaystyle 20+5=x-5+5}
25 = x {\displaystyle 25=x}
-
Решите следующее уравнение с дробью: .
- Избавьтесь от дроби. Для этого умножьте обе стороны уравнения на выражение (или число), стоящее в знаменателе дроби:
− 7 + 3 x = 7 − x 2 {\displaystyle -7+3x={\frac {7-x}{2}}}
2 (− 7 + 3 x) = 2 (7 − x 2) {\displaystyle 2(-7+3x)=2({\frac {7-x}{2}})} - Избавьтесь от − x {\displaystyle -x}
на правой стороне уравнения; для этого прибавьте x {\displaystyle x}
к обеим сторонам уравнения:
− 14 + 6 x = 7 − x {\displaystyle -14+6x=7-x}
− 14 + 6 x + x = 7 − x + x {\displaystyle -14+6x+x=7-x+x} - Перенесите свободные члены на одну сторону уравнения; для этого прибавьте 14 к обеим сторонам уравнения:
− 14 + 7 x = 7 {\displaystyle -14+7x=7}
− 14 + 7 x + 14 = 7 + 14 {\displaystyle -14+7x+14=7+14} - Избавьтесь от коэффициента при переменной; для этого разделите обе стороны уравнения на 7:
7 x = 21 {\displaystyle 7x=21}
7 x 7 = 21 7 {\displaystyle {\frac {7x}{7}}={\frac {21}{7}}}
x = 3 {\displaystyle x=3}
- Избавьтесь от дроби. Для этого умножьте обе стороны уравнения на выражение (или число), стоящее в знаменателе дроби:
-
Решите следующую систему уравнений: 9 x + 15 = 12 y ; 9 y = 9 x + 27 {\displaystyle 9x+15=12y;9y=9x+27}
- Изолируйте переменную y {\displaystyle y}
во втором уравнении:
9 y = 9 (x + 3) {\displaystyle 9y=9(x+3)}
9 y 9 = 9 (x + 3) 9 {\displaystyle {\frac {9y}{9}}={\frac {9(x+3)}{9}}}
y = x + 3 {\displaystyle y=x+3} - В первое уравнение вместо y {\displaystyle y}
подставьте x + 3 {\displaystyle x+3}
:
9 x + 15 = 12 y {\displaystyle 9x+15=12y}
9 x + 15 = 12 (x + 3) {\displaystyle 9x+15=12(x+3)} - Воспользуйтесь распределительным законом, чтобы раскрыть скобки:
- Избавьтесь от переменной на левой стороне уравнения; для этого вычтите 9 x {\displaystyle 9x}
из обеих сторон уравнения:
9 x + 15 = 12 x + 36 {\displaystyle 9x+15=12x+36}
9 x + 15 − 9 x = 12 x + 36 − 9 x {\displaystyle 9x+15-9x=12x+36-9x} - Перенесите свободные члены на одну сторону уравнения; для этого вычтите 36 из обеих сторон уравнения:
15 = 3 x + 36 {\displaystyle 15=3x+36}
15 − 36 = 3 x + 36 − 36 {\displaystyle 15-36=3x+36-36} - Избавьтесь от коэффициента при переменной; для этого разделите обе стороны уравнения на 3:
− 21 = 3 x {\displaystyle -21=3x}
− 21 3 = 3 x 3 {\displaystyle {\frac {-21}{3}}={\frac {3x}{3}}}
− 7 = x {\displaystyle -7=x} - Найдите значение y {\displaystyle y}
; для этого подставьте найденное значение x {\displaystyle x}
в одно из уравнений:
9 y = 9 x + 27 {\displaystyle 9y=9x+27}
9 y = 9 (− 7) + 27 {\displaystyle 9y=9(-7)+27}
9 y = − 63 + 27 {\displaystyle 9y=-63+27}
9 y = − 36 {\displaystyle 9y=-36}
9 y 9 = − 36 9 {\displaystyle {\frac {9y}{9}}={\frac {-36}{9}}}
y = − 4 {\displaystyle y=-4}
- Изолируйте переменную y {\displaystyle y}
во втором уравнении:
- Например, если 1 = x {\displaystyle 1=x}
, подставьте 1 (вместо переменной) в исходное уравнение:
Сервис для решения уравнений онлайн поможет вам решить любое уравнение. Используя наш сайт, вы получите не просто ответ уравнения, но и увидите подробное решение, то есть пошаговое отображение процесса получения результата. Наш сервис будет полезен старшеклассникам общеобразовательных школ и их родителям. Ученики смогут подготовиться к контрольным, экзаменам, проверить свои знания, а родители – проконтролировать решение математических уравнений своими детьми. Умение решать уравнения – обязательное требование к школьникам. Сервис поможет вам самообучаться и повышать уровень знаний в области математических уравнений. С его помощью вы сможете решить любое уравнение: квадратное, кубическое, иррациональное, тригонометрическое и др. Польза онлайн сервиса бесценна, ведь кроме верного ответа вы получаете подробное решение каждого уравнения. Преимущества решения уравнений онлайн. Решить любое уравнение онлайн на нашем сайте вы можете абсолютно бесплатно. Сервис полностью автоматический, вам ничего не придется устанавливать на свой компьютер, достаточно будет только ввести данные и программа выдаст решение. Любые ошибки в расчетах или опечатки исключены. С нами решить любое уравнение онлайн очень просто, поэтому обязательно используйте наш сайт для решения любых видов уравнений. Вам необходимо только ввести данные и расчет будет выполнен за считанные секунды. Программа работает самостоятельно, без человеческого участия, а вы получаете точный и подробный ответ. Решение уравнения в общем виде. В таком уравнении переменные коэффициенты и искомые корни связаны между собой. Старшая степень переменной определяет порядок такого уравнения. Исходя из этого, для уравнений используют различные методы и теоремы для нахождения решений. Решение уравнений данного типа означает нахождение искомых корней в общем виде. Наш сервис позволяет решить даже самое сложное алгебраическое уравнение онлайн. Вы можете получить как общее решение уравнения, так и частное для указанных вами числовых значений коэффициентов. Для решения алгебраического уравнения на сайте достаточно корректно заполнить всего два поля: левую и правую части заданного уравнения. У алгебраических уравнений с переменными коэффициентами бесконечное количество решений, и задав определенные условия, из множества решений выбираются частные. Квадратное уравнение. Квадратное уравнение имеет вид ax^2+bx+с=0 при а>0. Решение уравнений квадратного вида подразумевает нахождение значений x, при которых выполняется равенство ax^2+bx+с=0. Для этого находится значение дискриминанта по формуле D=b^2-4ac. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней (корни находятся из поля комплексных чисел), если равен нулю, то у уравнения один действительный корень, и если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле: D= -b+-sqrt/2а. Для решения квадратного уравнения онлайн вам достаточно ввести коэффициенты такого уравнения (целые числа, дроби или десятичные значения). При наличии знаков вычитания в уравнении необходимо поставить минус перед соответствующими членами уравнения. Решить квадратное уравнение онлайн можно и в зависимости от параметра, то есть переменных в коэффициентах уравнения. С этой задачей отлично справляется наш онлайн сервис по нахождению общих решений. Линейные уравнения. Для решения линейных уравнений (или системы уравнений) на практике используются четыре основных метода. Опишем каждый метод подробно. Метод подстановки. Решение уравнений методом подстановки требует выразить одну переменную через остальные. После этого выражение подставляется в другие уравнения системы. Отсюда и название метода решения, то есть вместо переменной подставляется ее выражение через остальные переменные. На практике метод требует сложных вычислений, хотя и простой в понимании, поэтому решение такого уравнения онлайн поможет сэкономить время и облегчить вычисления. Вам достаточно указать количество неизвестных в уравнении и заполнить данные от линейных уравнений, далее сервис сделает расчет. Метод Гаусса. В основе метода простейшие преобразования системы с целью прийти к равносильной системе треугольного вида. Из нее поочередно определяются неизвестные. На практике требуется решить такое уравнение онлайн с подробным описанием, благодаря чему вы хорошо усвоите метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Запишите в правильном формате систему линейных уравнений и учтите количество неизвестных, чтобы безошибочно выполнить решение системы. Метод Крамера. Этим методом решаются системы уравнений в случаях, когда у системы единственное решение. Главное математическое действие здесь – это вычисление матричных определителей. Решение уравнений методом Крамера проводится в режиме онлайн, результат вы получаете мгновенно с полным и подробным описанием. Достаточно лишь заполнить систему коэффициентами и выбрать количество неизвестных переменных. Матричный метод. Этот метод заключается в собрании коэффициентов при неизвестных в матрицу А, неизвестных – в столбец Х, а свободных членов в столбец В. Таким образом система линейных уравнений сводится к матричному уравнению вида АхХ=В. У этого уравнения единственное решение только если определитель матрицы А отличен от нуля, иначе у системы нет решений, либо бесконечное количество решений. Решение уравнений матричным методом заключается в нахождении обратной матрицы А.
