Функции и их графики презентация. Геометрические преобразования графиков

Одним из самых важных вопросов при изучении алгебры является функция. Изучение начинается еще в 7 классе. Однако учащиеся часто воспринимают материал с большим трудом. И даже в 11 классе тема вызывает трудности. Данная презентация является обобщением материала и надеюсь поможет снять трудности приизучении данной темы

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Функция. Свойства и графики функций. Логинова Н.В. учитель математики МБОУ «СОШ № 16» г. Ижевска 14.12.2014

Повторение по теме: 1. Что такое функция? Определение. Зависимость переменной y от переменной x , при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у, называют функцией. Определение. Соответствие f между двумя множествами X и Y , при котором каждому элементу множества X ставится в соответствие единственный элемент множества Y , называется функцией. 0 1 1 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 2 1 1

2. Как можно задать функцию? Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции. Способы задания функций: табличный, графический, аналитический(с помощью формулы), словесный. 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 3

Напомним, что графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции. Все значения независимой переменной образуют область определения функции. 3. Что такое график? 4. Что такое область определения и область значения функции? 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 4

1. 2. 3. ; () 4. 5. 6. ; () ; () Найдите область определения функции 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 5

Назовите функции с одинаковой областью определения 1. 2 . 3. 4. 5. 6. Задайте формулой функцию с областью определения 7. 8. 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 6

На рисунке изображён график зависимости температуры Т (º С) от времени суток t (час) Т ºc 4 2 t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 ч -2 -4 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 7

Ограниченность функции Функция у = f (x) называют ограниченной снизу на множестве Х  D (f) , если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа. если существует число m такое, что для любого значения х  Х выполняется неравенство f (x) > m . 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 8

Непрерывность функции х у 0 х у 0 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 9

Область определения функции D (f) – симметричное множество; 2. Для любого х  Х выполняется равенство: f (– x) = f (x) х у f (– x) = – f (x) х у Четные и нечетные функции 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 10

Выпуклость функции х у 0 х у 0 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 11

Периодичность функции Периодической называется функция, удовлетворяющая условию: f(x+T)=f(x) для любого х. Наименьшее значение Т называется периодом функции 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 12

Общая схема исследования функции 1. Область определения функции. 2. Исследование области значений функции. 3. Определение точек пересечения графика функции с осями координат (нули функции). 4. Исследование функции на монотонность (возрастание, убывание функции) 5. Определение промежутков знакопостоянства. 6. Исследование функции на непрерывность. 7. Исследование функции на четность. 8. Наибольшее и наименьшее значения функции. 9. Ограниченность функции. 10. Выпуклость функции. 11. Периодичность функции. 12. Построение графика функции. 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 13

х у 0 k > 0 возрастающая х у 0 k

Свойства функции D (f) = (- ;0)(0;+) Е (f) = (- ;0)(0;+) Монотонность k > 0 k

Свойства функции у = kx 2 1 . D (f) = (-  ;+ ) k > 0 k

График постоянной функции х у 0 у = С С 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 17

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 6 Рис. 5 Рис. 4 Рис. 7 Рис. 8 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 18

Чтение графиков функций Самостоятельная работа Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 19

1 2 3 4 1 вариант Укажите область определения функции 2 вариант Укажите множество значений функции 1 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 20

1 2 3 4 2 1 вариант Укажите номер четной функции 2 вариант Укажите номер нечетной функции 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 21

3 На каком из следующих множеств функция, график которой изображен на рисунке 1 вариант 2 вариант возрастает убывает 1 2 3 4 1 2 3 4 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 22

1 2 3 4 1 вариант Найдите все значения, для которых выполняется неравенство. 2 вариант Найдите все значения, для которых выполняется неравенство. 4 14.12.2014 Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16» 23

«Построить график функции» - Графики и функций y=m sinx+n и y=m cosx+n. Растяжение графика y=cosx по оси y. Чтобы вернуться К содержанию нажмите сюда. График функции y= m*cos x. Смещения графика y=cosx по вертикали. Содержание: Самостоятельная работа. Дана функция y=cosx+1. Смещение графика y=sinx по горизонтали. Дана функция y=sinx+1.

«Наибольшее и наименьшее значение функции» - Задача1 Задача 2,3. Задачи урока: Решение: Наименьшего не существует. Установим связь между условием и заключением. Ответ: Наибольшее 0, наименьшее значение -8/3. Константинова Татьяна Геннадьевна МОУ «Западнодвинская СОШ №1». Тема: Производная степенной функции. Найти наименьшее и наибольшее значение заданной функции на заданном промежутке:

«Координатная плоскость» - Координатная плоскость. Координатная прямая, координатный угол. Задача №1. План урока. Координаты точек, расположенных на осях. Как отмечаются числа на координатной прямой. (1 способ). Познакомить учащихся с историей возникновения отрицательных чисел. Как отмечаются точки на плоскости. (2 способ). Цели урока:

«Свойства функции» - 1.Определение функции. y=0, x=0 6.Промежутки знакопостоянства y > 0 на (0; +). 5.Ноль функции. Свойства функции. E(y)=

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ У = f (х) У х 0 в 1 в 4 2 . Множество значений функции – это множество всех чисел, которые может принимать у МЗФ: у є [ в 4 ; в 1 ]

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ У = f (х) У х 0 а 2 а 4 а 6 а 8 3. Корни (или нули) функции – это такие значения х, при которых функция равна нулю (у=0) f (x) = 0 при Х = а 2 ; а 4 ; а 6 ; а 8

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 1 а 2 а 4 а 6 а 8 а 9 4 . Участки знакопостоянства функции – это такие значений х при которых функция больше или меньше нуля (т.е. у > 0 или у 0 при Х є (а 1 ; а 2); (а 4 ; а 6); (а 8 ; а 9)

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 2 а 4 а 6 а 8 4 . Участки знакопостоянства функции – это такие значений х при которых функция больше или меньше нуля (т.е. у > 0 или у

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 3 а 5 а 7 а 9 5 . Монотонность функции – это участки возрастания и убывания функции Функция возрастает при Х є [ а 3 ; а 5 ] ; [ а 7 ; а 9 ] а 1 Функция убывает при Х є [ а 1 ; а 3 ] ; [ а 5 ; а 7 ]

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) У х 0 а 3 а 5 а 7 в 2 в 3 в 4 Экстремумы функции F max (x) F min (x) F min (x) F max (х) = в 2 в точке экстремума х = а 5 F min (х) = в 3 в точке экстремума х = а 3 F min (x) = в 4 в точке экстремума х = а 7

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ у= f (х) у х 0 а 7 а 9 в 1 в 4 7. Наибольшее и наименьшее значения функции (это самая высокая и самая низкая точки на графике функции) наибольшее значение F (х) = в 1 в точке х = а 9 наименьшее значение F (x) = в 4 в точке х = а 7

у х F(x) = x 2 у х F(x) = cos x х 0 0 Х -Х СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Четные и нечетные функции Функция называется четной, если для любого Х из ее области определения выполняется правило f(x) = f(- x) График четной функции симметричен относительно оси У f(x) Х -Х f(x)

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Четные и нечетные функции Функция называется нечетной, если для любого Х из ее области определения выполняется правило f(x) = - f(x) График нечетной функции симметричен относительно начала координат у х 0 у=х 3 х f(x) - f(x) - х у х 0 у = 1 х 1 -1 1 -1

2 2 4 6 8 10 х -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 у -2 -4 у= f (х) Т = 4 Периодичность функций Если рисунок графика функции повторяется, то такая функция называется периодической, а длина отрезка по оси Х называется периодом функции (T) Периодическая функция подчиняется правилу f(x) = f(x+T) СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

2 2 4 6 х -2 -4 -6 0 4 6 у -2 -4 -6 у= f (х) Т = 6 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Функция y=f(x) - периодическая с периодом Т = 6

1 1 2 3 4 5 х -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 у -1 -2 -3 -4 Указать свойства функции 1) ООФ 2) МЗФ 3) Нули функции 4) Функция положительная Функция отрицательная 5) Функция возрастает Функция убывает 6) Экстремумы функции F max (х) F min (х) 7) Наибольшее значение функции Наименьшее значение функции у= f (х)

1 1 2 3 4 5 х -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 у -1 -2 -3 -4 Указать свойства функции у= f (х)

2 2 4 6 8 10 х -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 8 у -2 -4 -6 -8 Указать свойства функции у= f (х)

2 2 х -2 0 у -2 Указать свойства функции у= f (х)

3 3 х -1 0 у -1 -4 -5 Построить график функции Дано: а) Область определения – есть промежуток [-4;3] б) Значения функции составляют промежуток [- 5 ;3] в) Функция убывает на промежутках [-4; 1 ] и [ 2 ;3] возрастает на промежутке [- 1 ; 2 ] г) Нули функции: -2 и 2

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Зная график элементарной функции, например f(x) = x 2 можно построить график «сложной» функции, например f(x) = 3(x +2) 2 - 16 с помощью правил преобразования графиков

Правила преобразования графиков 1 правило: Смещение вдоль оси Х Если к аргументу Х прибавить или отнять число, то график сместится влево или вправо по оси Х f(x) f(x ± a) преобразовать в 0 у х 0 у х 4 -4 F(x) = x 2 F(x) = (x+4) 2 F(x) = (x-4) 2

Если к функции Y прибавить или отнять число, то график сместится вверх или вниз по оси Y f(x) f(x) =Х ± a преобразовать в Правила преобразования графиков 2 правило: смещение вдоль оси У у х 4 - 4 0 у х F(x) = x 2 F(x) = x 2 + 4 F(x) = x 2 - 4

Если аргумент Х умножить или разделить на число К, то график сожмется или растянется в К раз по оси Х f(x) f(к· x) преобразовать в Правила преобразования графиков 3 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси Х у х F(x) = sin x F(x) = sin 2x

Если к функции Y прибавить или отнять число, то график сместится вверх или вниз по оси Y f(x) f(x) ± a преобразовать в у х F(x) = sin x F(x) = sin х 2 Правила преобразования графиков 3 правило: C жатие (растяжение) графика вдоль оси Х

Если функцию умножить или разделить на число К, то график растянется или сожмется в К раз по оси У f(x) к · f(x) преобразовать в Правила преобразования графиков 4 правило: сжатие (растяжение) графика вдоль оси У у х F(x) = cos x F(x) = cos x 1 2

Если перед функцией изменить знак на противоположный, то график симметрично перевернется относительно оси Х f(x) - f(x) преобразовать в Правила преобразования графиков 5 правило: переворот графика относительно оси Х у х F(x) = x 2 F(x) = - x 2

В презентации представлены основные элементарные функции