Разложение многочлена на множители. «Разложение многочлена пятой степени на квадратичные множители с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа

Задача 1. Найти НОД многочленов

f (x )=x 4 –2x 3 –x +2, g (x )=x 4 –x 3 +x –1, h (x )=x 4 –4x 2 –x +2.

Решение. НОД многочленов находится однозначно лишь с точностью до постоянного множителя (постоянные, отличные от нуля множители на делимость многочленов не влияют). Поэтому можно условиться, в качестве НОД многочленов брать тот, у которого старший коэффициент равен 1.

Применяя алгоритм Евклида к многочленам с целыми коэффициентами, мы можем, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножить делимое или делитель на любое не равное нулю число, причем, не только начиная с какого-либо из последовательных делений, но и в процессе самого этого деления. Это будет приводить, понятно, к искажению частного, но интересующие нас остатки будут приобретать лишь некоторый множитель нулевой степени.

Чтобы найти НОД трех многочленов, сначала находим по алгоритму Евклида НОД любых двух многочленов, например d (x )=(f (x ),h (x )), а затем находим НОД d (x ) и g (x ).

Алгоритм Евклида состоит в последовательном делении многочленов с остатком. Будем делить сначала f (x ) на h (x ), затем h (x ) на полученный при делении остаток r (х ) (первый остаток), затем первый остаток на второй остаток и т.д., до тех пор, пока не получим в остатке нуль. НОД многочленов f (x ) и h (x ) будет последний отличный от нуля остаток. Процесс деления будем осуществлять "углом".

_	x 4 -2x 3 -x+2		x 4 -4x 2 -x+2	_	x 4 -4x 2 -x+2	x 3 -2x 2
	x 4 -4x 2 -x+2		1		x 4 -2x 3	x+2
		-2x 3 +4x 2			_	2x 3 -4x 2 -x+2
		x 3 -2x 2		2x 3 -4x 2
				_	-x+2
				x-2
					0

_	x 3 -2x 2		x-2
	x 3 -2x 2		x 2
		0

Значит НОД многочленов f (x ) и h (x ) равен двучлену x –2.

d (x )=(f (x ), h (x ))=x –2.

Аналогично находим НОД многочленов d (x ) и g (x ), он будет равен 1. Таким образом, (f (x ), g (x ), h (x ))=(g (x ), (f (x ), h (x )))=1.

Примечание. Знак «=» или «!!» означает, что в ходе деления было произведено умножение на некоторое число, отличное от нуля.

Задача 2.Используя алгоритм Евклида найти многочлены u (x ) и v (x ), удовлетворяющие равенству f (x )u (x )+g (x )v (x )=d (x ), где d (x ) – НОД многочленов f (x ) и g (x ): f (x )=4x 4 –2x 3 –16x 2 +5x +9, g (x )=2x 3 –x 2 –5x +4.

Решение. Применим к многочленам f (x ) и g (x ) алгоритм Евклида. Нужно помнить, что здесь произвол, состоявший в умножении многочленов на постоянные множители, возможный при нахождении НОД, допускать нельзя, так как здесь мы будем использовать и частные, которые при указанном произволе могут искажаться.

В результате деления получим:

f (x )=g (x )q 1 (x )+r 1 (x ),

где q 1 (x )=2x , r 1 (x )= –6x 2 –3x +9,

g (x )=r 1 (x )q 2 (x )+r 2 (x ),

где q 2 (x )= –x /3+1/3, r 2 (x )= –x +1,

r 1 (x )=r 2 (x )q 3 (x )+r 3 (x ),

где q 3 (x )=6x +9, r 3 (x )=0.

Таким образом, алгоритм Евклида записался здесь в три строки, а наибольший общий делитель равен –r 2 (x )=x –1=d (x ). Чтобы выразить d (x ) через многочлены f (x ) и g (x ), найдем r 2 (x ) из второй строки алгоритма Евклида:

r 2 (x )=g (x )–r 1 (x )q 2 (x ).

Подставив в это равенство вместо r 1 (x ) его выражение, найденное из первой строки алгоритма Евклида, получим:

r 2 (x )=f (x )[–q 2 (x )]+g (x ),

чтобы получить равенство f (x )u (x )+g (x )v (x )=d (x ), нужно предыдущее равенство умножить на (–1), получим:

–r 2 (x )=f (x )q 2 (x ) +g (x )[–1–q 1 (x )q 2 (x )]=d (x ),

где u (x )=q 2 (x ), v (x )= –1–q 1 (x )q 2 (x ).

После подстановки в это равенство многочленов q 1 (x ), q 2 (x ) получим:

u (x )= , v (x )= .

Задача 3. Способом неопределенных коэффициентов подобрать многочлены u (x ) и v (x ) так, чтобы f (x )u (x )+g (x )v (x )=1, (1) для многочленов f (x )=x 2 –2x –1, g (x )=2x 4 –3x 3 –6x 2 +2x +2.

Решение. Воспользуемся теоремой: если d (x ) есть НОД многочленов f (x ) и g (x ), то можно найти такие многочлены u (x ) и v (x ), что

f (x )u (x )+g (x )v (x )=d (x ).

Можно считать при этом, если степени многочленов f (x ) и g (x ) больше нуля, что степень u (x ) меньше степени g (x ), а степень v (x ) меньше степени f (x ).

Многочлены f (x ) и g (x ) удовлетворяют равенству (1), если (f (x ),g (x ))=1. В нашем случае f (x ) и g (x ) взаимно простые многочлены, а значит, можно найти многочлен u (x )=ax 3 +bx 2 +cx +d и многочлен v (x )=ex +f .

Подставив в равенство (1) вместо f (x ), g (x ), u (x ), v (x ) их выражения, получим:

(x 2 – 2x– 1)(ax 3 +bx 2 +cx+d )+(2x 4 – 3x 3 – 6x 2 + 2x+ 2)(ex+f )=1

(a+ 2e )x 5 + (b– 2a+ 2f– 3e )x 4 + (c– 2b–a– 3f– 6e )x 3 + (d– 2c–b– 6f+ 2e )x 2 +(–2d–c+ 2f+ 2e )x––d+ 2f= 1.

Таким образом, имеем равенство двух многочленов: в левой части многочлен пятой степени с неопределенными коэффициентами, а в правой многочлен нулевой степени. Два многочлена равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного, получим систему шести линейных уравнений с неизвестными a, b, c, d, e, f:

Решая ее, получим: d= 3, e= –1, f= 2, c= –4, b= –3, a= 2.

Таким образом, искомые многочлены u (x ) и v (x ) будут:

u (x )=2x 3 –3x 2 –4x +3, v (x )= –x +2.

Задача 4. Пользуясь схемой Горнера, вычислить f (а ) и разложить многочлен f (x ) по степеням x –а , где f (x )=x 4 +2x 3 –7x 2 +3х –1, а =2.

Решение. По теореме Безу остаток от деления многочлена f (x ) на линейный двучлен x –а равен значению f (а ) многочлена при x =а .

Деление «углом» может быть записано проще: если f (x )=a 0 x n +a 1 x n –1 +a 2 x n– 2 + …+a n –1 x +a n , то коэффициенты частного q (x )=b 0 x n–1 +b 1 x n –2 + b 2 x n –3 + …+b n –1 и остаток r от деления f (x ) на x –a могут быть найдены по схеме Горнера:

f (2)=9=r 1 , а частное от деления f (x ) на x –2 есть q 1 (x )=x 3 +4x 2 +x +5, т.е. f (x )=

=(x –2)q 1 (x )+r 1

Затем по схеме Горнера разделим q 1 (x ) на x –2, получим частное q 2 (x ) и остаток r 2 , далее q 2 (x ) разделим на x –2, получим q 3 (x ) и r 3 и т.д.

Для многочлена f (x ) получим:

f (x )=(x –2)q 1 (x )+r 1 =(x –2)[(x –2)q 2 (x )+r 2 ]+r 1 =(x –2) 2 q 2 (x )+r 2 (x –2)+r 1 =

=(x ––2) 2 [(x –2)q 3 (x )+r 3 ]+r 2 (x –2)+r 1 =(x –2) 3 q 3 (x )+r 3 (x –2) 2 +r 2 (x –2)+r 1 =

=(x –2) 3 [(x ––2)q 4 (x )+r 4 ]+r 3 (x –2) 2 +r 2 (x –2)+r 1 =(x –2) 4 q 4 (x )+r 4 (x –2) 3 +r 3 (x –2) 2 +r 2 (x –2)+ +r 1 = r 5 (x –2) 4 +r 4 (x –2) 3 +r 3 (x –2) 2 +r 2 (x –2)+r 1.

Таким образом, коэффициенты в разложении многочлена f (x ) по степеням x –2 равны соответственно остаткам от деления многочленов f (x ), q 1 (x ), q 2 (x ), q 3 (x ), q 4 (x ) на x –2.

Все решение можно записать в таблицу:

			–7		–1

Из таблицы видно, что r 5 =1, r 4 =10, r 3 =29, r 2 =31, r 1 =9 и

f (x )= (x –2) 4 +10(x –2) 3 +29(x –2) 2 +31(x –2)+9.

Задача 5.Доказать, что .

Решение. Рассмотрим многочлен . Число х = –1 является корнем многочлена f (x ) и по теореме Безу f (x ) нацело делится на х +1, т.е. f (x )=(x +1)g (x ), где g (x ) – многочлен с целыми коэффициентами, поэтому х 11 +1 делится на х +1 при любом целом х . Положим х =3 5 . Получаем , т.е. , а т.к. , делаем вывод, что .

Замечание . Из правил «деления углом» многочлена f (x ) на многочлен g (x ) непосредственно видно, что если многочлены f (x ) и g (x ) с целыми коэффициентами, причем g (x ) приведенный, то частное и остаток являются многочленами с целыми коэффициентами.

Задача 6. Остатки от деления многочлена f (x ) на двучлены х +5 и х -3 равны –9 и 7 соответственно. Найти остатки от деления этого многочлена на многочлен g (x )=(x +5)(x -3).

Решение. По теореме Безу f (–5)= –9, f (3)=7. При делении многочлена f (x ) на многочлен g (x )=x 2 +2x –15 получим некоторое частное q (x ) и остаток p (x )=ax +b , т.е. f (x )=(x 2 +2x –15)q (x )+(ax +b ) .

Подставив в последнее равенство вместо х значения –5 и 3 получим систему двух уравнений с двумя неизвестными a и b :

Решив её, находим a =2, b =1. Тогда искомый остаток от деления многочлена f (x ) на многочлен g (x ) будет равен 2х +1.

Задача 7. Дан многочлен f (x ) с целочисленными коэффициентами и . Доказать, что .

Решение. Рассмотрим разложение многочлена f (x ) по степеням (x –10):

ввиду того, что делится на 21, т.е. делится на 7. Аналогично делится на 3. В силу взаимной простоты 3 и 7 число f (10)=a n делится на 21.

Задача 8. Разложить многочлен x 7 +3 в произведение многочленов не выше второй степени с действительными коэффициентами.

Решение. Найдем корни многочлена x 7 +3, ими будут

Придавая k значения 0, 1, …, 6, получим семь корней многочлена x 7 +3;

x 0 = ; x 1 = ; x 2 = ;

x 3 = = – ; x 4 = = ;

x 5 = = ;

x 6 = = .

Среди них только один действительный – это x 3 = – , остальные комплексные, причем попарно сопряжены: x 6 = , x 5 = , x 4 = . В общем случае

X к = , x k = .

Рассмотрим произведение

(x –x k )(x – )=(x 2 –(x k + )x +x k )=x 2 – x + , где k =0, 1, 2.

Имеем квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. Многочлен x 7 +3 можно разложить в произведение 7 линейных множителей (следствие основной теоремы алгебры). Перемножив множители, которые соответствуют сопряженным корням, получим искомое разложение:

x 7 +3=(x –x 0)(x –x 1)(x –x 2)(x –x 3)(x –x 4)(x –x 5)(x –x 6)=(x –x 3)(x –x 0)(x –x 6)(x –x 1)

(x –x 5)(x –x 2)(x ––x 4)=(x –x 3)(x –x 0)(x – )(x –x 1)(x – )(x –x 2)(x – )=(x + )

(x 2 –(2· )x + )(x 2 –(2· )x + ) (x 2 ––(2· )x + ).

Задача 9. Представить многочлен в виде суммы квадратов двух многочленов.

Решение. Любой многочлен f (x ) с действительными коэффициентами, положительный при любом представляется в виде суммы квадратов двух многочленов. Для этого найдем корни многочлена f (x ): , разложим на линейные множители, затем перемножим и , получим искомое представление:

Обозначим , , получим f (x )=p 2 (x )+q 2 (x ).

Задача 10. Определить кратность корня многочлена . Найти многочлен наибольшей степени с простыми корнями, каждый корень которого является корнями многочлена f (x ).

1) Проверим, является ли корнем многочлена f (x ).

2) Проверим, является ли корнем первой производной многочлена f (x )

. f ¢(–1)=0, поэтому – корень

многочлена f (x ), кратности не меньше 2.

3) , , поэтому корень кратности не меньше 3.

4) , корень многочлена f (x ) кратности 3, т.е. . Чтобы найти многочлен наибольшей степени с простыми корнями, каждый корень которого является корнем f (x ), нужно в многочлене f (x ) избавиться от кратных корней. Для этого разделим многочлен f (x ) на наибольший общий делитель многочленов f (x ) и f ¢(x ): . Поэтому искомый многочлен будет , где , х =2 – простые корни многочлена.

Примечание : Кратность корня можно было проверить по схеме Горнера.

Задача 11. Отделить кратные множители многочлена

Решение. По теореме о кратных множителях: если некоторый неприводимый над полем Р многочлен g (x ) является k- кратным множителем многочлена f (x ) с коэффициентами из поля Р, то g (x ) является (k –1) – кратным множителем производной f (x ). Таким образом, при переходе от f (x ) к f ′(x ) кратность всех множителей понижается на 1. Однако у многочлена f ′(x ) могут быть и такие множители, которых нет у f (x ). Чтобы избавиться от них мы найдем НОД f (x) и f ′(x ). В него будут входить только те множители, которые входят в f (x), однако с меньшей на 1 кратностью.

Применив алгоритм Евклида, получим

Так как есть многочлен третьей степени, разложение которого на множители в общем случае затруднительно, но который в свою очередь, может иметь кратные множители, то мы применим к нему аналогичный процесс понижения кратности множителей. Получим . Итак, множитель х –1 входит в с кратностью 1, а следовательно, в он входит с кратностью 2. Разделим на (х –1) 2 , найдем . Отсюда имеем: множитель (х –1) входит в f (x ) с кратность 3, а х +3 с кратностью 2. Разделив f (x ) на многочлен , получим

Задача 12. Доказать, что число иррациональное.

Решение. Это число является корнем приведенного целочисленного многочлена , который не имеет рациональных корней, т.к. все его рациональные корни целые и должны быть делителями числа 5.

Задача 13. Найти рациональные корни многочлена

f (x )=6x 4 +19x 3 –7x 2 –26x +12.

Решение. Если рациональная несократимая дробь, являющаяся корнем многочлена f (x )=а 0 x n +а 1 x n– 1 +а 2 x n– 2 +…+а n– 1 x+а n с целыми коэффициентами, то:

1. k есть делитель а 0 ;

2. p есть делитель а n ;

3. p–mk есть делитель f (m ) при любом целом m .

В нашем случае: k может принимать значения: ±1, ±2, ±3, ±6, а p – ±1,±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Теперь можно было бы каждое из этих чисел вида проверить подстановкой в многочлен или по схеме Горнера. Однако, многие из этих чисел можно «отсеять» более простым путем. Найдем границы действительных корней данного многочлена ВГ х =1+ , НГ х = –(1+ ), где А – наибольшая из абсолютных величин коэффициентов, а а 0 – коэффициент при x n или ВГ х =1+ , где k – индекс первого отрицательного коэффициента многочлена f (x ), а B – наибольшая из абсолютных величин его отрицательных коэффициентов (этот способ применим, когда а 0 >0). В нашем примере k =2, B =26, а 0 =6. ВГ х =1+ < 4.

Для нахождения нижней границы этим способом достаточно в f (x ) вместо x подставить (–x ) и воспользоваться следующим правилом: нижняя граница действительных корней многочлен f (x ) равна верхней границе действительных корней многочлена f (–x ), взятой с противоположным знаком. В нашем случае

f (–x )=6x 4 –19x 3 –7x 2 +26x +12, а 0 =6, k =1, B =19. ВГ х =1+ <5, значит, нижняя граница – НГ х = –5. Итак, корни многочлена заключены в интервале (–5,4). Более точные границы можно было найти по методу Ньютона. Воспользуемся еще тем, что если – корень f (x ), то целое. Найдем f (1)=4,

f (–1)=13, значит – целое, – целое, если – корень f (x ).

Проверяем всевозможные дроби , учитывая границы корней.

В ходе такой проверки появились рациональные числа 2, –3, , - «кандидаты в корни», проверяем их по схеме Горнера, убеждаемся, что f (2)≠0, , f (–3)=0, . Для многочлена четвертой степени нашли два корня, значит, f (x ) кратно (x +3) или f (x )=(6x 2 +4x –8)(x +3) . Корни многочлена g (x )=6x 2 +4x –8 находим непосредственно x = – нерациональные числа.

Задача 14. Доказать, что данное уравнение не имеет ненулевых целочисленных решений.

Решение. Левая часть равенства представляет собой однородный многочлен четвертой степени. Поделим обе части равенства на х 4 . Получим

Положим , тогда . Заданное уравнение тогда и только тогда имеет ненулевое целочисленное решение, когда многочлен имеет рациональные корни. Многочлен приведенный, целочисленный, все его рациональные корни являются: во-первых, целыми; во-вторых, делителями свободного члена 9, т.е. должны принадлежать множеству {±1, ±3, ±9}. Непосредственной проверкой можно убедиться, что ни один элемент данного множества не является корнем многочлена , т.е. данный многочлен не имеет рациональных корней, а значит, заданное уравнение – ненулевых целочисленных корней.

Задача 15. При каких натуральных n будет простым число ?

Решение. Покажем, что . Действительно, если а – произвольный корень многочлена , тогда а будет корнем многочлена , т.е. а 3 =1 и а 2 +а +1=0.

Рассмотрим , т.е. а – корень многочлена . Так как а – произвольный корень многочлена , то каждый корень многочлена является корнем многочлена , поэтому , где P (x ) – многочлен с целыми коэффициентами.

Предположим , тогда , т.е. .

Рассмотрим случаи и .

2. При – простое число.

Натуральное число представлено в виде произведения двух натуральных чисел. Отсюда видно, что может быть простым, если или , – отбрасываем.

При , и представлено в виде произведения двух натуральных чисел, превышающих 1, а значит, это число – составное.

Задача 16. Решить уравнения в поле комплексных чисел:

1) x 3 +6x +2=0; 2) x 3 –9x 2 +18x –28=0; 3) x 4 -2x 3 +4x 2 -2x+ 3=0.

1. Решим уравнение x 3 +6x +2=0.

Для корней кубического уравнения x 3 +аx +b =0 имеется так называемая формула Кардано: x i =u i +v i (i =0, 1, 2), где u 0 , u 1 , u 2 – значение радикала

u = и v i = . В нашем случае, а =6, b =2,

u = = = = = (cos +i sin ), где l =0, 1, 2. Подставляя вместо l значения 0, 1, 2, получим: u 0 = , u 1 =

= (cos +i sin )= (– +i ), u 2 = (cos +i sin )= (– – i ),

v 0 = = = = ,

v 1 = = = = ( +i ),

v 2 = = = = ( –i ),

x 0 = u 0 +v 0 = – , x 1 =u 1 + v 1 = , x 2 = u 2 + v 2 =

Ответ: – ; .

2. Решим уравнение x 3 –9x 2 +18x –28=0.

Приведем наше уравнение к уравнению вида y 3 +аy +b =0, произведя подстановку x = y – =y +3, (a 0 , a 1 – коэффициенты при x 3 и x 2). Получим:

y 3 –9y –28=0. Его решения находятся по формуле Кардано: y i =u i +v i , (i =0, 1,…2),

где u 0 =3, u 1 = , u 2 = , v 0 =1 , v 1 = , v 2= ,

y 0 =4, y 1 = , y 2 = , x 0 =7, x 1 = , x 2 = .

Ответ: 7; .

3. Решим уравнение x 4 -2x 3 +4x 2 -2x+ 3=0.

Применим способ Феррари. Оставим в левой части уравнения члены с х 4 и х 3 и дополним её до полного квадрата:

Теперь прибавим к обеим частям члены с новым неизвестным y так, чтобы левая часть снова стала квадратом (независимо от значения y )

Здесь коэффициенты перед степенями x в правой части зависят от неопределенной величины y . Подберем значение y так, чтобы правая часть стала квадратом. Для этого необходимо, чтобы дискриминант квадратного (относительно x ) трехчлена в правой части равнялся нулю. Приравняв этот дискриминант нулю получим:

отсюда y =4 и .

Подставив y =4 в уравнение (*), получим: или . Извлекая из обеих частей полученного уравнения квадратный корень, получим два квадратных уравнения: и или и . Решив их, найдем 4 корня нашего уравнения: , .

Ответ: , .

Задача 17. Даны многочлены

f (x )=x 3 –3x 2 +2x –5, g (x )=x 3 +3x 2 –1.

1) Определить число действительных корней каждого;

2) С помощью теоремы Штурма найти промежуток (а, b ), где b–а =1, содержащий наибольший корень x 0 многочлена g (x );

3) Вычислить с точностью 0,0001 корень x 0 , пользуясь методом линейной интерполяции и методом Ньютона;

1. Если коэффициенты a и b уравнения x 3 +ax +b =0 действительны, то число действительных корней этого уравнения вполне определяется знаком числа D = – 4a 3 – 27b 2 , называемого дискриминантом многочлена x 3 +аx +b , следующим образом:

а) при D=0 все три корня действительны, из них два равных;

б) при D>0 – все три корня действительны;

в) при D<0 – один корень действительный, два мнимых.

В нашем случае: f (x )=x 3 –3x 2 +2x –5 или положив x =y +1, y 3 –y –5=0, т.е. D =4–27·25<0, поэтому многочлен f (x ) имеет один действительный корень.

2. Для многочлена g (x ) определим число действительных корней, установив число перемен знаков в системе Штурма многочлена g (x ) при переходе от –∞ к +∞. Также найдем целые границы, между которыми каждый из этих корней расположен, причем не будем строить заранее график этой функции.

Всякий многочлен g (x ) с действительными коэффициентами, не имеющий кратных корней, обладает системой Штурма. Если многочлен имеет кратные корни, то от их нужно избавиться, поделив многочлен g (x ) на НОД многочленов g (x ) и g "(x ). Систему Штурма многочлена g (x ) можно построить следующим образом: положим g 1 (x )=g "(x ), затем делим g (x ) на g 1 (x ) и остаток от этого деления, взятый с обратным знаком, принимаем за g 2 (x ), т.е. g (x )=g 1 (x )h 1 (x )–g 2 (x ). Вообще, если многочлены g к–1 (x ) и g к (x ) уже найдены, то g к+1 (x ) будет остатком от деления g к–1 (x ) на g к (x ), взятый с обратным знаком:

g к–1 (x )=g к (x )q к (x )– g к+1 (x ).

Найдем систему Штурма для g (x ), применяя указанный метод. При этом в процессе деления мы будем, в отличие от алгоритма Евклида, умножать и сокращать лишь на произвольные положительные числа, т.к. знаки остатков играют важную роль в методе Штурма. Мы получим такую систему

g (x )=x 3 +3x 2 –1,

g 1 (x )=3x 2 +6x ,

g 2 (x )=2x +1,

g 3 (x )=1.

Определим знаки многочленов этой системы при x =–∞ и x = +∞, для чего смотрим лишь на знаки старших коэффициентов и на степени этих многочленов. При +∞ знаки всех многочленов системы Штурма будут совпадать со знаками их старших членов, а при –∞ знаки многочленов системы Штурма совпадают со знаками их старших коэффициентов для многочленов четной степени и противоположны знакам старших многочленов нечетной степени.

Таким образом, при переходе x от –∞ к +∞ система Штурма теряет три перемены знаков, поэтому многочлен g (x ) имеет ровно три действительных корня (теорема Штурма).

Продолжим исследование знаков в системе Штурма, рассматривая промежутки (0,1), (1,2), (2,3) и т.д., (0,–1), (–1,–2), (–2,–3) и т.д. Тем самым, определим промежутки (а , b ), где а–b =1, содержащие три действительных корня и найдем промежуток для x 0 .

Таким образом, система Штурма многочлена g (x ) теряет по одной перемене знаков при переходе x от –3 к –2, от –1 к 0 и от 0 к 1. Корни x 1 , x 2 , x 3 этого многочлена удовлетворяют, следовательно, неравенствам:

–3<x 1 <–2, –1<x 2 <0, 0<x 3 <1, т.е. наибольший корень x 0 (0,1).

3. Построим в промежутке (0, 1) схематично график многочлена g (x ), вычислив следующие значения многочленов:

g (0)=–1, g (1)=3, g "(0)=0, g "(1)=9 (функция возрастает на рассматриваем интервале), g ""(0)>0g ""(1)>0 (функция выпукла).

Схематический график функции представлен на рис.1.

Сначала по методу хорд на отрезке (0,1) кривая y =g (x ) заменяется хордой АВ и в качестве первого приближенного значения корня принимается абсцисса x =с точки пересечения этой хорды с осью x . Треугольник КВС подобен треугольнику САЕ, поэтому , или , или . В общем случае .

Затем по методу Ньютона проводим касательную y к графику g (x ) в точке А(1, g (1)) (мы проводим касательную в точке x =1, т.к. g (1) и g ""(1) одного знака) и берем за другое приближенное значение корня абсциссу x =р точки пересечения этой касательной с осью Оx.

Запишем уравнение касательной, проходящей через точку А

y –g (1)=g "(1)(x –1).

Поскольку эта касательная проходит через точку (p , 0), то подставив эти значения в уравнение касательной, получим

0–g (1)=g "(1)(p –1) или p =1– =1– .

В общем случае p =b– .

Более точное значение искомого корня x 0 теперь уже можно искать в новом

промежутке (а 1 , b 1), положив а 1 =0,3, b 1 =0,7. Повторив метод хорд и метод Ньютона в промежутке (а 1 , b 1) имеем: g (а 1)=–0,703; g (b 1)=0,813; g" (b 1)=5,67.

Так как g (а 1) и g (b 1) разных знаков, то x 0 (а 1 ,b 1)

p 1 =0,7– .

Рассмотрим новый промежуток (а 2 , b 2), положив а 2 =0,5, b 2 =0,55, g (а 2)=–0,125, g (b 2)=0,073875, g" (b 2)=4,2075, т.к. g (а 2) и g (b 2) – разных знаков, то x 0 (а 2 ,b 2),

, p 2 =0,55– .

И наконец, рассмотрев промежуток (а 3 , b 3), где а 3 =0,531, b 3 =0,532, найдем более точно x 0 .

Задача 18.Следующую рациональную дробь , где

f (x )= 2x 4 –10x 3 +7x 2 +4x +3, g (x )=x 5 –2x 3 +2x 2 –3x +2,

разложить в сумму простейших дробей в поле рациональных чисел.

Решение. Всякая правильная рациональная дробь обладает единственным разложением в сумму простейших дробей. В нашем случае степень f (x ) меньше степени g (x ), поэтому дробь правильная.

Ключевые слова: уравнения , Многочлен , Корни уравнения

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока : Урок усвоения и закрепления первичных знаний.

Цель урока:

Ознакомить учеников с понятием корней многочлена, научить находить их. Усовершенствовать навыки применения схемы Горнера по разложению многочлена по степеням и деления многочлена на двучлен.
Научиться находить корни уравнения с помощью схемы Горнера.
Развивать абстрактное мышление.
Воспитывать вычислительную культуру.
Развитие межпредметных связей.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать цели.

2. Проверка домашнего задания.

3. Изучение нового материала.

Пусть F n (x)= a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - многочлен относительно x степени n, где a 0 , a 1 ,...,a n –данные числа, причем a 0 не равно 0. Если многочлен F n (x) разделить с остатком на двучлен x-a, то частное (неполное частное) есть многочлен Q n-1 (x) степени n-1, остаток R есть число, при этом справедливо равенство F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. Многочлен F n (x) делится нацело на двучлен (x-a) только в случае R=0.

Теорема Безу: Остаток R от деления многочлена F n (x) на двучлен (x-a) равен значению многочлена F n (x) при x=a, т.е. R= P n (a).

Немного истории. Теорема Безу, несмотря на внешнюю простоту и очевидность, является одной из фундаментальных теорем теории многочленов. В этой теореме алгебраические свойства многочленов (которые позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными свойствами (которые позволяют рассматривать многочлены как функции). Одним из способов решения уравнений высших степеней является способ разложения на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения. Вычисление коэффициентов многочлена и остатка записывается в виде таблицы, которая называется схемой Горнера.

Схема Горнера – это алгоритм деления многочленов, записанный для частного случая, когда частное равно двучлену x–a .

Горнер Уильям Джордж (1786 - 1837), английский математик. Основные исследования относятся к теории алгебраических уравнений. Разработал способ приближенного решения уравнений любой степени. В 1819 г. ввёл важный для алгебры способ деления многочлена на двучлен х - а (схема Горнера).

Вывод общей формулы для схемы Горнера.

Разделить с остатком многочлен f(x) на двучлен (x-c) значит найти такой многочлен q(x) и такое число r, что f(x)=(x-c)q(x)+r

Запишем это равенство подробно:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:

x n: f 0 = q 0 => q 0 = f 0
x n-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0
x n-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1
... ...
x 0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.

Демонстрация схемы Горнера на примере.

Задание 1. С помощью схемы Горнера разделим с остатком многочлен f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 на двучлен x-2.

	1	-5	0	8
2	1	2*1+(-5)=-3	2*(-3)+0=-6	2*(-6)+8=-4

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, где g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 остаток.

Разложение многочлена по степеням двучлена.

Используя схему Горнера, разложим многочлен f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 по степеням двучлена (x+2).

В результате должны получить разложение f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1)(x+2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3(x+2) 2 -2(x+2)+12

Схему Горнера часто используют при решении уравнений третьей, четвертой и выших степеней, когда удобно разложить многочлен на двучлен x-a. Число a называют корнем многочлена F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n , если при x=a значение многочлена F n (x) равно нулю: F n (a)=0, т.е. если многочлен делится нацело на двучлен x-a.

Например, число 2 является корнем многочлена F 3 (x)=3x 3 -2x-20, так как F 3 (2)=0. это означает. Что разложение этого многочлена на множители содержит множитель x-2.

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).

Любой многочлен F n (x) степени n 1 может иметь не более n действительных корней.

Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Если старший коэффициент уравнения равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они существуют, целые.

Закрепление изученного материала.

Для закрепления нового материала учащимся предлагается выполнить номера из учебника 2.41 и 2.42 (стр. 65).

(2 ученика решают у доски, а остальные, решив, в тетради задания сверяются с ответами на доске).

Подведение итогов.

Поняв структуру и принцип действия схемы Горнера, ее можно использовать и на уроках информатики, когда рассматривается вопрос о переводе целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную и обратно. В основе перевода из одной системы счисления в другую лежит следующая общая теорема

Теорема. Для перевода целого числа Ap из p -ичной системы счисления в систему счисления с основанием d необходимо Ap последовательно делить с остатком на число d , записанное в той же p -ичной системе, до тех пор, пока полученное частное не станет равным нулю. Остатки от деления при этом будут являться d -ичными цифрами числа Ad , начиная от младшего разряда к старшему. Все действия необходимо проводить в p -ичной системе счисления. Для человека данное правило удобно лишь при p = 10, т.е. при переводе из десятичной системы. Что касается компьютера, то ему, напротив, “удобнее” производить вычисления в двоичной системе. Поэтому для перевода “2 в 10” используется последовательное деление на десять в двоичной системе, а “10 в 2” - сложение степеней десятки. Для оптимизации вычислений процедуры “10 в 2” компьютер использует экономную вычислительную схему Горнера.

Домашнее задание. Предлагается выполнить два задание.

1-е. Используя схему Горнера разделить многочлен f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 на двучлен (x-3).

2-е. Найти целые корни многочлена f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6.(учитывая, что любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена)

Литература.

Курош А.Г. “Курс высшей алгебры”.
Никольский С.М, Потапов М.К. и др. 10 класс “Алгебра и начала математического анализа”.
http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.

Разложение многочлена пятой степени на квадратичные множители с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа 1. Определение интерполяционного многочлена Лагранжа пятой степени. Чтобы разложить приведенный многочлен пятой степени на множители необходимо выполнение равенства: f(x)=φ(x)·g(x). При этом степень многочленов φ(x) и g(x) должна быть не выше пятой. Для определения целого многочлена не выше пятой степени с заданной таблицей значений существует формула интерполяционного многочлена Лагранжа (ИМЛ): 6 Ak k=1 F"(xk)(x−xk) , где F(x)=(x-x1)·(x-x2)·(x-x3)·(x-x4)·(x- φ(x) = F(x)· ∑ x5)(x-x6), Fʹ(xk) значения производной функции F(x) в точках xk. Где необходимо задать на плоскости координаты шести точек. Для определения множителей φ(x) и g(x) выберем произвольно шесть целых значений x= x1; x2; x3; x4; x5; x6 и станем подставлять их в равенство f(x)= φ(x)·g(x). Получим: f(x1)= φ(x1)·g(x1) ; f(x2)= φ(x2)·g(x2); f(x3)= φ(x3)·g(x3); f(x4)= φ(x4)·g(x4) ; f(x5)=φ(x5)·g(x5); f(x6)= φ(x6)· g(x6). Эти равенства показывают, что каждое значение φ(xk) искомого множителя φ(x) является делителем числа f(xk). Для построения множителя φ(x) воспользуемся ИМЛ и в качестве f(xk) будем подставлять произвольные целые числа Аk, а значения xk выберем в виде последовательных целых чисел близких к нулю, т.е. x1= -3; x2= -2; x3= -1; x4=0; x5=1; x6=2. В развернутом виде ИМЛ φ(x) выглядит так:

F(x) φ(x) A4 + A2 A3 + A1 A5 F"(1)(x−1) + +A6 F"(−3)(x+3) F"(−2)(x+2) + + F"(0)x F"(−1)(x+1) F"(2)(x−2)) , ·(где F(x)=(x+3)·(x+2)·(x+1)·x·(x-1)·(x-2). (2). Для построения множителя φ(x) с помощью ИМЛ необходимо задать числа А1; А2; А3; А4; А5; А6. Определение: числа А1; А2; А3; А4; А5; А6 взятые из формулы ИМЛ записанные в ряд называются Лагранжевым рядом. 2. Разложение многочлена на линейные множители с помощью ИМЛ. Теорема 1 (Обобщение схемы Горнера) Многочлен φ(x) является линейным, если числа А1; А2; А3; А4; А5; А6 образуют возрастающую последовательность целых чисел. Доказательство: приведем многочлен (2) к наименьшему общему знаменателю, т.е. к 120· F(x), получившийся числитель запишем в виде многочлена пятой степени у которого коэффициенты содержат числа А1; А2; А3; А4; А5; А6. Для того что бы многочлен (2) был линейным необходимо приравнять к нулю коэффициенты при «х» пятой, четвертой, третьей и второй степени, а коэффициент при «х» первой степени приравнять к 120. В результате получим следующую систему из пяти уравнений с шестью переменными: -А1+5·А2-10·А3+10·А4-5·А5+А6=0 5·А2-20·А3+30·А4-20·А5+5·А6=0 5·А1-35·А2+70·А3-50·А4+5·А5+5·А6=0 -5·А2+80·А3-150·А4+80·А4-5·А6=0 -4·А1+30·А2-120·А3+40·А4+60·А5-6·А6=120. Если зафиксировать число А6 то все остальные выразятся следующими формулами: А1=А6-5; А2=А6-4; А3=А6- 3; А4=А6-2; А5=А6-1.

Мы получили возрастающую последовательность целых чисел. Из теоремы вытекает что линейный множитель имеет следующий вид: φ(x)=x+А4 (3). Определение: последовательность чисел заданных данными соотношениями А1=А6-5; А2=А6-4; А3=А6-3; А4=А6-2; А5=А6-1; А6 называют линейным Лагранжевым рядом. Определение: линейный Лагранжевый ряд называется «кандидатом» если все его числа Аk являются делителями соответствующих значений функции f(xk), где k=1;2;3;4;5;6. Для всех кандидатов строим линейный множитель φ(x) по формуле (3) и проверяем его на делимость с f(x). Из теоремы вытекает что линейный множитель имеет следующий вид φ(x)=x+А4 , где А4 является делителем свободного члена т.е. Аналогично приведенного многочлена по схеме Горнера. Пример: f(x)= x5-8x4+2x3-16x2+x-8. По схеме Горнера найдем значение многочлена при х= -3; -2; -1; 0;1;2. Для этого составим таблицу 1: -8 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -3 -2 -1 0 1 2 Последний столбец таблицы 1 перепишем первой строкой таблицы 2. Выберем в этой строке число, имеющее наименьшее число делителей. В нашем примере это число -8. Запишем в столбик все его делители. Каждому делителю числа -8 запишем в строчку линейный Лагранжевый ряд. Из получившихся Лагранжевых рядов выберем «кандидатов». Построим с помощью «кандидатов» многочлен φ(x) по f(0). линейный множитель -8 -1100 -250 -36 -8 -28 -150 определяется 1 1 1 1 1 1 1 2 35 22 11 2 -5 -10 -16 -121 -60 -27 -16 -21 -36 1 364 121 28 1 -20 -71

36 А3 0 -2 1 -3 3 -5 7 -9 -8 А4 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8 -28 А5 2 0 3 -1 5 -3 9 -7 -150 А6 3 1 4 0 6 -2 10 -6 формуле (3) и проверим их на делимость с данным многочленом f(x)= x5-8x4+2x3-16x2+x-8. Таблица 2: -250 -1100 А2 А1 -2 -1 -3 -4 0 -1 -5 -4 2 1 -6 -7 5 6 -11 «кандид -10 ат» В приведенной выше таблице 2 закрашены серым цветом прямоугольники, в которых находятся числа, не являющиеся делителями соответствующих значений функции f(x). В данной таблице находится строка или Лагранжевый ряд все числа, которого являются делителями соответствующих значений функции f(x). Этот ряд является единственным кандидатом. В этом ряде А4= -8, подставляя в формулу φ(x)=x- А4, находим φ(x)=x- 8. Действительный кандидат выделим черным цветом. 3. Разложение многочлена множители с помощью ИМЛ. Проверка:x5-8x4+2x3-16x2+x-8=(x-8)·(x4+2x2+1). на квадратичные Теорема 2. Множитель φ(x) является квадратичным если числа А1; А2; А3; А4; А5; А6 связаны между собой следующими соотношениями: А1=5·(А5+4)-4·А6 А2=4·(А5+3)-3·А6 А3=3·(А5+2)-2·А6 А4=2·(А5+1)-1·А6

Доказательство: Доказательство: приведем многочлен (1) к наименьшему общему знаменателю, т.е. к 120· F(x),получившийся числитель запишем в виде многочлена пятой степени у которого коэффициенты содержат числа А1; А2; А3; А4; А5; А6 . Для того что бы многочлен (1) был квадратичным необходимо приравнять к нулю коэффициенты при «х» пятой, четвертой и третьей степени, а коэффициент при «х» второй степени приравнять к 120. В результате получим следующую систему из четырех уравнений с шестью переменными: -А1+5·А2-10·А3+10·А4-5·А5+А6=0 5·А2-20·А3+30·А4-20·А5+5·А6=0 5·А1-35·А2+70·А3-50·А4+5·А5+5·А6=0 -5·А2+80·А3-150·А4+80·А5-5·А6=120. Если зафиксировать два числа А5 и А6 то все остальные выразятся следующими формулами: А1=5·(А5+4)-4·А6; А2=4·(А5+3)-3·А6; А3=3·(А5+2)-2·А6; А4=2·(А5+1)-1·А6. Из теоремы вытекает, что квадратичный множитель выразится формулой φ(x)=x2+(А6- А5-3) ·x+ А4. (4) Определение: Последовательность целых чисел заданных следующими соотношениями; А3=3·(А5+2)-2·А6 ; А4=2·(А5+1)-1·А6 называется квадратичным Лагранжевым рядом Определение: квадратичный Лагранжевый ряд называется «кандидатом» если все его числа Аk являются делителями соответствующих значений функции f(xk), k=1;2;3;4;5;6. Для всех кандидатов строим квадратичный множитель φ(x) по формуле (4) и проверяем его на делимость с f(x). А1=5·(А5+4)-4·А6 ; А2=4·(А5+3)-3·А6

А3 А4+ d+4 А4 А5+ d+2 А5 А5 4. Упрощенный вид квадратичных Лагранжевых рядов. Формулы квадратичного Лагранжевого ряда можно упростить. Для этого буквой «d» обозначим разность А5- А6, тогда числа квадратичного Лагранжевого ряда будут выглядеть более простыми формулами и удобными для их построения: А1 А2 А2+ d+8 А3+ d+6 Пример: А5=7; А6=10 составить квадратичный Лагранжевый ряд. Найдем d=7-10=-3, тогда по формулам таблицы найдем числа данного ряда: А1 А2+ d+8 10+(- 3)+8 15 Ответ: 15; 10; 7; 6; 7; 10. Рассмотрим пример разложения приведенного многочлена пятой степени на множители: f(x)=x5-5x4+13x3-22x2+27x- 20. А5 А2 А3+ d+6 А5 7+(-3)+6 6+(-3)+4 7+(-3)+2 7 7 10 А4 А5+ d+2 А3 А4+ d+4 7 6 А6 А6 А6 А6 10 10 1) По схеме Горнера найдем значения функции при х=-3; -2;-1; 0;1;2. Для этого составим таблицу: 1 1 1 1 1 1 1 -5 -8 -7 -6 -5 -4 -3 13 37 27 19 13 9 7 -22 -133 -76 -41 -22 -13 -8 -3 -2 -1 0 1 2 2) Определим, имеет ли данный многочлен, линейные множители. Для этого в строчку таблицы №3 запишем получившиеся значения функции. Из них выберем число, имеющее наименьшее число делителей. В нашем примере это число «2». Запишем в столбик все его целые делители. Для каждого делителя числа «2» в -20 -1298 -378 -88 -20 -6 2 27 426 179 68 27 14 11

строчку запишем линейные Лагранжевые ряды. Из них выберем кандидатов и проверим на делимость с данным многочленом f(x). Таблица №3: -1298 А1 -378 А2 -88 А3 -20 А4 -3 0 -4 -5 -6 А5 0 -2 1 -3 2 А6 1 -1 2 -2 В данной таблице №3 серым цветом отмечены клетки, в которых находятся числа, не являющиеся делителями соответствующих значений функции f(x). Пустые клетки заполнять нет необходимости, так как построенный квадратичный Лагранжевый ряд с числом в серой клетке заведомо не является «кандидатом». Из данной №3 таблицы видно, что «кандидатов» нет. Это значит что данный многочлен f(x)=x5-5x4+13x3- 22x2+27x-20 на линейные множители не раскладывается. 3) Определим, имеет ли данный многочлен, квадратичные множители. Для этого в строчку таблицы №4 запишем получившиеся значения функции. Из них выберем два числа, имеющие наименьшее число делителей. В нашем примере это числа «2» и «-6» запишем их делители в столбики. Для каждой пары делителей чисел «2» и «-6» в строчку запишем квадратичные Лагранжевые ряды. Из них выберем кандидатов и проверим их на делимость с данным многочленом f(x). Таблица №4: -1298 А1 А2+ d+8 -378 А2 А3+ d+6 5 -88 А3 А4+ d+4 1 10 -5 -20 А4 А5+ d+2 3 -1 5 -3 7 -5 -6 А5 А5 1 -1 2 -2 3 -3 2 А6 А6 1 1 1 1 1 1 d d= А5- А6 d=0 d=-2 d=1 d=-3 d=2 d=-4

19 7 2 14 -2 14 7 22 2 13 6 11 5 2 5 -1 8 -4 7 19 1 13 -11 5 1 7 -1 9 -3 15 -9 2 -2 4 -4 6 -6 12 -12 6 2 8 0 10 -2 16 -8 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 2 2 2 2 2 2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 d=5 d=-7 d=2 d=0 d=3 d=-1 d=4 d=-2 d=7 d=-5 d=-1 d=-3 d=0 d=-4 d=1 d=-5 d=4 d=-8 d=3 d=1 d=4 d=0 d=5 d=-1 d= 8 d=-4 «канд.» «канд.» В данной таблице №4 мы видим двух «кандидатов». С их помощью по формуле φ(x)=x2+(А6- А5-3) ·x+ А4 найдем квадратные множители: φ1(x)=x2-3х+ 4; φ2(x)=x2+x-4. Проверка показывает, что один из двух множителей является истинным это φ1(x)=x2-3х+ 4, а другой множитель оказался посторонним. Ответ: x5-5x4+13x3-22x2+27x-20=(x2-3х+ 4)·(x3-2x2+3x-5). В данной таблице №4 получили 32 квадратичных Лагранжевых ряда. Это число определяется количеством различных пар делителей, как положительных, так и отрицательных, которые расположены двумя столбиками по соседству. двух значений функции,

5. Уменьшение числа квадратичных Лагранжевых рядов. По определению Если значения функции число делителей, которых минимально, расположены не по соседству, то можно воспользоваться следующей теоремой: Теорема 3 Пусть известны А4 и А6 тогда А5=(А4+ А6 ·1):2-1 Пусть известны А3 и А6 тогда А5=(А3+ А6 ·2):3-2 Пусть известны А2 и А6 тогда А5=(А2+ А6 ·3):4-3 Пусть известны А1 и А6 тогда А5=(А1+ А6 ·4):5-4. Доказательство: докажем последнее равенство А5=(А1+А6·4):5-4. квадратичных Лагранжевых чисел, А1=5·(А5+4)-4·А6 подставим это число в исходное равенство получим А5=(5·(А5+4)-4·А6+А6·4):5-4=(5 ·А5+20):5-4=А5+4-4=А5 что и требовалось доказать. Другие равенства доказываются аналогично. Данная теорема позволяет уменьшить число квадратичных Лагранжевых рядов. Рассмотрим уже решенный нами пример f(x)=x5-5x4+13x3-22x2+27x-20 и решим его на случай когда мы рассматриваем квадратичные Лагранжевые ряды построенных с помощью делителей А4 и А6. Таблица №5: -1298 -378 А2 А1 А2+ А3+ d+6 d+8 d d = А5- А6 -88 А3 А4+ d+4 -20 А4 А5+ d+2 1 -1 5 -5 1 -1 -6 А5 (А4+ А6 ·1):2-1 0 -1 2 -3 -1 -2 2 А 6 А 6 1 1 d =-2 1 d =1 1 d =-4 - d =0 1 d =-1 - 1 5 7 1 10 -5 5 2 14

19 11 7 22 2 2 14 -2 13 6 5 -1 8 -4 7 1 19 5 -5 2 -2 4 -4 10 -10 20 -20 2 -2 4 -4 10 -10 20 -20 1 -4 1 -1 2 -2 5 -5 10 -10 -1 -3 0 -4 3 -7 8 -12 «канд.» «канд.» d =2 - 1 - 1 2 d =-1 2 d =-3 2 d =0 2 d =-4 2 2 2 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 d =1 d =-1 d =5 В данной таблице №5 мы получили 24 квадратичных Лагранжевых ряда. Так как в формуле сумму А4 и А6 необходимо делить на 2, поэтому делители А4 и А6 должны быть либо оба четными, либо оба нечетными. За счет этого уменьшилось число квадратичных Лагранжевых рядов. Если использовать данную теорему 3 для записи квадратичных Лагранжевых рядов, построенных с помощью А1 и А6, то число рядов уменьшится до 12. Таблица №6: -378 -1298 А1 А2 2 А6 d -88 А3 -20 А4 -6 А5

«канд.» A3+d+ 6 5 d=-4 d=0 «канд.» «канд.» A5+d+ 2 -5 -1 A4+d+ 4 -5 1 (4A1+A6): 5-4 -3 -1 -15 -5 -7 7 -2 2 -26 -6 -10 12 A6 d=A5- A6 d=-4 1 1 d=-2 1 -1 -1 -1 2 2 2 -2 d=-4 -2 -2 A2+d+ 8 1 11 -59 -1 -11 -59 2 22 -118 -2 -22 118 В таблице №6 число квадратичных Лагранжевых рядов уменьшилось до 12, так как А5 находится по формуле (4A1+A6):5-4 и А5 как целое число должно быть меньше или равно -6. Во всех таблицах черная выделенная строка является «действительным кандидатом». Остальные кандидаты являются «мнимыми». Для многочлена шестой степени можно доказать, что квадратичный множитель можно найти по формуле: φ(x)=x2+ (А7 - А6 - 5) ·x+ А4, где числа А1; А2; А3; А4; А5; А6; А7 образуют квадратичный Лагранжевый ряд. 6. Выводы: 1. Данный метод разложения, использующий ИМЛ -2 14 -4 8 -4 4 -8 является обобщением «схемы Горнера». 2. Данным методом можно определить квадратичные множители для многочленов выше пятой степени. 3. Данным методом можно исследовать свойства Лагранжевых чисел для определения кубических многочленов в разложении многочленов пятой и выше степени. 7. Литература: 1. А. Н. Чеботарев «Основы теории Галуа», ОМТИ ГТТИ, 1934г., 1ч.

2. «Числа и многочлены», составитель А.А. Егоров – М.: бюро Квантум, 2000/ приложение к журналу «Квант» №6, 2000г.

Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.

Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.

Теория

Теорема 1

Когда любой многочлен со степенью n , имеющие вид P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью a n и n линейных множителей (x - x i) , i = 1 , 2 , … , n , тогда P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , где x i , i = 1 , 2 , … , n – это и есть корни многочлена.

Теорема предназначена для корней комплексного типа x i , i = 1 , 2 , … , n и для комплексных коэффициентов a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Это и есть основа любого разложения.

Когда коэффициенты вида a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x 1 и x 2 , относящиеся к многочлену вида P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q , где x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Замечание

Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.

Основная теорема алгебры

Теорема 2

Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.

Теорема Безу

После того, как произвели деление многочлена вида P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 на (x - s) , тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s , тогда получим

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , где Q n - 1 (x) является многочленом со степенью n - 1 .

Следствие из теоремы Безу

Когда корень многочлена P n (x) считается s , тогда P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида a x 2 + b x + c можно разложить на линейные множители. тогда получим, что a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , где x 1 и x 2 - это корни (комплексные или действительные).

Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.

Пример 1

Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.

Решение

Необходимо найти корни уравнения 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 . Отсюда имеем, что

x 1 = 5 - 9 2 · 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 · 4 = 1

Отсюда получаем, что 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1 .

Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.

Пример 2

Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3 x 2 - 7 x - 11 .

Решение

Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 .

Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 · 3 · (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 · 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 · 3 = 7 - 181 6

Отсюда получаем, что 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

Пример 3

Произвести разложение многочлена 2 x 2 + 1 на множители.

Решение

Теперь нужно решить квадратное уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и найти его корни. Получим, что

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 · i x 2 = - 1 2 = - 1 2 · i

Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i .

Пример 4

Произвести разложение квадратного трехчлена x 2 + 1 3 x + 1 .

Решение

Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и найти его корни.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 · 1 · 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 · 1 = - 1 3 + 35 3 · i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

Получив корни, запишем

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 · i x - - 1 6 - 35 6 · i = = x + 1 6 - 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i

Замечание

Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.

Способы разложения на множители многочлена степени выше второй

При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x 1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x - x 1) . Полученный многочлен нуждается в нахождении корня x 2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.

Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями и целыми коэффициентами.

Вынесение общего множителя за скобки

Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x .

Видно, что корень такого многочлена будет равняться x 1 = 0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.

Пример 5

Выполнить разложение многочлена третьей степени 4 x 3 + 8 x 2 - x на множители.

Решение

Видим, что x 1 = 0 - это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4 x 2 + 8 x - 1 . Найдем дискриминант и корни:

D = 8 2 - 4 · 4 · (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 · 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 · 4 = - 1 - 5 2

Тогда следует, что

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1 .

Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.

Пример 6

Произвести разложение выражения f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 .

Решение

Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа - 18 . Получим, что ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить коэффициенты разложения многочлена:

Отсюда следует, что х = 2 и х = - 3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x 2 + 2 x + 3 .

Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.

Ответ: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Замечание

Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , старший из которых на равняется единице.

Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.

Пример 7

Произвести разложение на множители f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Решение

Необходимо выполнить замену переменной y = 2 x , следует переходить к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4 . Получаем, что

4 f (x) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Когда получившаяся функция вида g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

Перейдем к вычислению функции g (y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что

g (1) = 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 · (- 1) 2 + 82 · (- 1) + 60 = - 4 g (2) = 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 · (- 2) 2 + 82 · (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 · (- 3) 2 + 82 · (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) + 60

Получаем, что у = - 5 – это корень уравнения вида y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 , значит, x = y 2 = - 5 2 - это корень исходной функции.

Пример 8

Необходимо произвести деление столбиком 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2 .

Решение

Запишем и получим:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x 2 + 7 x + 3 . Приравниванием к нулю и находим дискриминант.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 · 1 · 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Отсюда следует, что

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Искусственные приемы при разложении многочлена на множители

Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.

Способ группировки

Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.

Пример 9

Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 на множители.

Решение

Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1 , - 1 , 2 и - 2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что

1 4 + 4 · 1 3 - 1 2 - 8 · 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 · (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 · (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 - 2 2 - 8 · 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 · (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 · (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.

Необходимо провести группировку:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 · 1 · 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Замечание

Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.

Пример 10

Произвести разложение на множители многочлен x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Решение

Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

После разложения на множители получим, что

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители

Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.

Пример 11

Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 на множители.

Решение

Необходимо выполнить преобразование выражения к виду

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x + 1 4 .

Значит, имеем x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 .

После применения разности квадратов, получим

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Пример 12

Произвести разложение на множители x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Решение

Займемся преобразованием выражения. Получаем, что

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Способ замены переменной при разложении многочлена на множители

При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.

Пример 13

Произвести разложение на множители многочлена вида x 6 + 5 x 3 + 6 .

Решение

По условию видно, что необходимо произвести замену y = x 3 . Получаем:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Корни полученного квадратного уравнения равны y = - 2 и y = - 3 , тогда

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

То есть получили искомое разложение.

Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении и разложении многочлена на множители разными способами.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

x n:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
x n-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
x n-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x 0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.