Суммарный импульс шаров после удара формула. Законы сохранения энергии и импульса. Упругие и неупругие столкновения. Решение. При абсолютно упругом ударе выполняется закон сохранения энергии. Поскольку стенка неподвижна, кинетическая энергия молекулы, а

На этом уроке мы продолжаем изучать законы сохранения и рассмотрим различные возможные удары тел. Из своего опыта вы знаете, что накачанный баскетбольный мяч хорошо отскакивает от пола, тогда как сдутый - практически не отскакивает. Из этого вы могли сделать вывод, что удары различных тел могут быть разными. Для того чтобы охарактеризовать удары, вводятся абстрактные понятия абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов. На этом уроке мы займемся изучением различных ударов.

Тема: Законы сохранения в механике

Урок: Столкновение тел. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары

Для изучения строения вещества, так или иначе, используются различные столкновения. Например, для того, чтобы рассмотреть какой-то предмет, его облучают светом, или потоком электронов, и по рассеянию этого света, или потока электронов получают фотографию, или рентгеновский снимок, или изображение данного предмета в каком-либо физическом приборе. Таким образом, столкновение частиц - это то, что окружает нас и в быту, и в науке, и в технике, и в природе.

Например, при одном столкновении ядер свинца в детекторе ALICE Большого Адронного Коллайдера рождаются десятки тысяч частиц, по движению и распределению которых можно узнать о самых глубинных свойствах вещества. Рассмотрение процессов столкновения с помощью законов сохранения, о которых мы говорим, позволяет получать результаты, независимо от того, что происходит в момент столкновения. Мы не знаем, что происходит в момент столкновения двух ядер свинца, но мы знаем, какова будет энергия и импульс частиц, которые разлетаются после этих столкновений.

Сегодня мы рассмотрим взаимодействие тел в процессе столкновения, иными словами движение невзаимодействующих тел, которые меняют свое состояние только при соприкосновении, которое мы называем столкновением, или ударом.

При столкновении тел, в общем случае, кинетическая энергия сталкивающихся тел не обязана быть равной кинетической энергии разлетающихся тел. Действительно, при столкновении тела взаимодействуют друг с другом, воздействуя друг на друга и совершая работу. Эта работа и может привести к изменению кинетической энергии каждого из тел. Кроме того, работа, которую совершает первое тело над вторым, может оказаться неравной работе, которую второе тело совершает над первым. Это может привести к тому, что механическая энергия может перейти в тепло, электромагнитное излучение, или даже породить новые частицы.

Столкновения, при которых не сохраняется кинетическая энергия сталкивающихся тел, называют неупругими.

Среди всех возможных неупругих столкновений, есть один исключительный случай, когда сталкивающиеся тела в результате столкновения слипаются и дальше движутся как одно целое. Такой неупругий удар называют абсолютно неупругим (рис. 1) .

а)б)

Рис. 1. Абсолютное неупругое столкновение

Рассмотрим пример абсолютно неупругого удара. Пусть пуля массой летела в горизонтальном направлении со скоростью и столкнулась с неподвижным ящиком с песком массой , подвешенным на нити. Пуля застряла в песке, и дальше ящик с пулей пришел в движение. В процессе удара пули и ящика внешние силы, действующие на эту систему, - это сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити, направленная вертикально вверх, если время удара пули было настолько мало, что нить не успела отклониться. Таким образом, можно считать, что импульс сил, действующих на тело во время удара, был равен нулю, что означает, что справедлив закон сохранения импульса:

Условие, что пуля застряла в ящике, и есть признак абсолютно неупругого удара. Проверим, что произошло с кинетической энергией в результате этого удара. Начальная кинетическая энергия пули:

конечная кинетическая энергия пули и ящика:

простая алгебра показывает нам, что в процессе удара кинетическая энергия изменилась:

Итак, начальная кинетическая энергия пули меньше конечной на некоторую положительную величину. Как же это произошло? В процессе удара между песком и пулей действовали силы сопротивления. Разность кинетических энергий пули до и после столкновения как раз и равны работе сил сопротивления. Другими словами, кинетическая энергия пули пошла на нагрев пули и песка.

Если в результате столкновения двух тел сохраняется кинетическая энергия, такой удар называется абсолютно упругим.

Примером абсолютно упругих ударов могут быть столкновения бильярдных шаров. Мы рассмотрим простейший случай такого столкновения - центральное столкновение.

Центральным называется столкновение, при котором скорость одного шара проходит через центр масс другого шара. (Рис. 2.)

Рис. 2. Центральный удар шаров

Пускай один шар покоится, а второй налетает на него с какой-то скоростью , которая, согласно нашему определению, проходит через центр второго шара. Если столкновение центральное и упругое, то при столкновении возникают силы упругости, действующие вдоль линии столкновения. Это приводит к изменению горизонтальной составляющей импульса первого шара, и к возникновению горизонтальной составляющей импульса второго шара. После удара второй шар получит импульс, направленный направо, а первый шар может двигаться как направо, так и налево - это будет зависеть от соотношения между массами шаров. В общем случае, рассмотрим ситуацию, когда массы шаров различны.

Закон сохранения импульса выполняется при любом столкновении шаров:

В случае абсолютно упругого удара, также выполняется закон сохранения энергии:

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными величинами. Решив ее, мы получим ответ.

Скорость первого шара после удара равна

заметим, что эта скорость может быть как положительной, так и отрицательной, в зависимости от того, масса какого из шаров больше. Кроме того, можно выделить случай, когда шары одинаковые. В этом случае после удара первый шар остановится. Скорость второго шара, как мы ранее отметили, получилась положительной при любом соотношении масс шаров:

Наконец, рассмотрим случай нецентрального удара в упрощенном виде - когда массы шаров равны. Тогда, из закона сохранения импульса мы можем записать:

А из того, что кинетическая энергия сохраняется:

Нецентральным будет удар, при котором скорость налетающего шара не будет проходить через центр неподвижного шара (рис. 3). Из закона сохранения импульса, видно, что скорости шаров составят параллелограмм. А из того, что сохраняется кинетическая энергия, видно, что это будет не параллелограмм, а квадрат.

Рис. 3. Нецентральный удар при одинаковых массах

Таким образом, при абсолютно упругом нецентральном ударе, когда массы шаров равны, они всегда разлетаются под прямым углом друг к другу.

Список литературы

Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский. Физика 10. - М.: Просвещение, 2008.
А.П. Рымкевич. Физика. Задачник 10-11. - М.: Дрофа, 2006.
О.Я. Савченко. Задачи по физике - М.: Наука, 1988.
А. В. Пёрышкин, В. В. Крауклис. Курс физики т. 1. - М.: Гос. уч.-пед. изд. мин. просвещения РСФСР, 1957.

Ответ: Да, действительно такие удары существуют в природе. Например, если мяч попадает в сетку футбольных ворот, или кусок пластилина выскальзывает из ваших рук и прилипает к полу, или стрела, которая застряла в подвешенной на нитках мишени, или попадание снаряда в баллистический маятник.

Вопрос: Приведите больше примеров абсолютно упругого удара. Существуют ли они в природе?

Ответ: В природе не существует абсолютно упругих ударов, поскольку при любом ударе часть кинетической энергии тел тратится на совершение некими сторонними силами работы. Однако иногда мы можем считать некие удары абсолютно упругими. Мы вправе делать это, когда изменение кинетической энергии тела при ударе незначительное по сравнению с этой энергией. Примерами таких ударов может служить баскетбольный мяч, который отскакивает от асфальта, или столкновения металлических шариков. Упругими также принято считать соударения молекул идеального газа.

Вопрос: Что делать, когда удар частично упругий?

Ответ: Нужно оценить, какое количество энергии ушло на работу диссипативных сил, то есть таких сил, как сила трения или сила сопротивления. Далее нужно воспользоваться законами сохранения импульса и узнать кинетическую энергию тел после столкновения.

Вопрос: Как стоит решать задачу о нецентральном ударе шаров, имеющих разные массы?

Ответ: Стоит записать закон сохранения импульса в векторной форме, и то, что кинетическая энергия сохраняется. Далее, у вас получится система из двух уравнений и двух неизвестных, решив которую, вы сможете найти скорости шаров после столкновения. Однако, следует отметить, что это достаточно сложный и трудоемкий процесс, выходящий за рамки школьной программы.

Решение. Время спуска равно .

Правильный ответ: 4.

А2. В инерциальной системе отсчёта движутся два тела. Первому телу массой m сила F сообщает ускорение a . Чему равна масса второго тела, если вдвое меньшая сила сообщила ему в 4 раза бо́льшее ускорение?

1)
2)
3)
4)

Решение. Масса может быть рассчитана по формуле . Вдвое меньшая сила сообщает в 4 раза бо́льшее ускорение телу с массой .

Правильный ответ: 2.

А3. На какой стадии полёта в космическом корабле, который становится на орбите спутником Земли, будет наблюдаться невесомость?

Решение. Невесомость наблюдаться в условиях отсутствия всех внешних сил, за исключением гравитационных. В таких условиях находится космический корабль при орбитальном полете с выключенным двигателем.

Правильный ответ: 3.

А4. Два шара массами m и 2m движутся со скоростями, равными соответственно 2v и v . Первый шар движется за вторым и, догнав, прилипает к нему. Каков суммарный импульс шаров после удара?

1)	mv
2)	2mv
3)	3mv
4)	4mv

Решение. По закону сохранения суммарный импульс шаров после удара равен сумме импульсов шаров до столкновения: .

Правильный ответ: 4.

А5. Четыре одинаковых листа фанеры толщиной L каждый, связанные в стопку, плавают в воде так, что уровень воды соответствует границе между двумя средними листами. Если в стопку добавить еще один такой же лист, то глубина погружения стопки листов увеличится на

1)
2)
3)
4)

Решение. Глубина погружения составляет половину высоты стопки: для четырёх листов - 2L , для пяти листов - 2,5L . Глубина погружения увеличится на .

Правильный ответ: 3.

A6. На рисунке представлен график изменения со временем кинетической энергии ребёнка, качающегося на качелях. В момент, соответствующий точке A на графике, его потенциальная энергия, отсчитанная от положения равновесия качелей, равна

1)	40 Дж
2)	80 Дж
3)	120 Дж
4)	160 Дж

Решение. Известно, что в положении равновесия наблюдается максимум кинетической энергии, а разность потенциальных энергий в двух состояниях равна по модулю разности кинетических энергий. Из графика видно, что максимальная кинетическая энергия равна 160 Дж, а для точки А она равна 120 Дж. Таким образом, потенциальная энергия, отсчитанная от положения равновесия качелей, равна .

Правильный ответ: 1.

А7. Две материальные точки движутся по окружностям радиусами и с одинаковыми по модулю скоростями. Их периоды обращения по окружностям связаны соотношением

1)
2)
3)
4)

Решение. Период обращения по окружности равен . Поскольку , то .

Правильный ответ: 4.

А8. В жидкостях частицы совершают колебания возле положения равновесия, сталкиваясь с соседними частицами. Время от времени частица совершает «прыжок» к другому положению равновесия. Какое свойство жидкостей можно объяснить таким характером движения частиц?

Решение. Таким характером движения частиц жидкости объясняется её текучесть.

Правильный ответ: 2.

А9. Лёд при температуре 0 °C внесли в тёплое помещение. Температура льда до того, как он растает,

Решение. Температура льда до того, как он растает, не изменится, так как вся энергия, получаемая льдом в это время, расходуется на разрушение кристаллической решетки.

Правильный ответ: 1.

А10. При какой влажности воздуха человек легче переносит высокую температуру воздуха и почему?

Решение. Человек легче переносит высокую температуру воздуха при низкой влажности, так как при этом пот испаряется быстро.

Правильный ответ: 1.

А11. Абсолютная температура тела равна 300 К. По шкале Цельсия она равна

Решение. По шкале Цельсия она равна .

Правильный ответ: 2.

A12. На рисунке приведён график зависимости объёма идеального одноатомного газа от давления в процессе 1–2. Внутренняя энергия газа при этом увеличилась на 300 кДж. Количество теплоты, сообщенное газу в этом процессе, равно

Решение. КПД тепловой машины, совершаемая ею полезная работа и получаемое от нагревателя количество теплоты связаны равенством , откуда .

Правильный ответ: 2.

A14. Два одинаковых лёгких шарика, заряды которых равны по модулю, подвешены на шёлковых нитях. Заряд одного из шариков указан на рисунках. Какой(-ие) из рисунков соответствует(-ют) ситуации, когда заряд 2-го шарика отрицателен?

1)	A
2)	B
3)	C и D
4)	A и C

Решение. Указанный заряд шарика - отрицательный. Одноимённые заряды отталкиваются. Отталкивание наблюдается на рисунке A .

Правильный ответ: 1.

A15. α-частица перемещается в однородном электростатическом поле из точки A в точку B по траекториям I, II, III (см. рис.). Работа сил электростатического поля

Решение. Электростатическое поле является потенциальным. В нём работа по перемещению заряда не зависит от траектории, а зависит от положения начальной и конечной точек. Для нарисованных траекторий начальные и конечные точки совпадают, значит, и работы сил электростатического поля одинаковы.

Правильный ответ: 4.

A16. На рисунке изображен график зависимости силы тока в проводнике от напряжения на его концах. Чему равно сопротивление проводника?

Решение. В водном растворе соли ток создаётся только ионами.

Правильный ответ: 1.

А18. Электрон , влетевший в зазор между полюсами электромагнита, имеет горизонтально направленную скорость , перпендикулярную вектору индукции магнитного поля (см. рис.). Куда направлена действующая на электрон сила Лоренца?

Решение. Воспользуемся правилом «левой руки»: направим четыре пальца руки в сторону направления движения электрона (от себя), а ладонь развернём так, чтобы линии магнитного поля входили в неё (влево). Тогда оттопыренный большой палец покажет направление действующей силы (он будет направлен вниз), если бы частица была заряжена положительно. Заряд электрона отрицательный, значит, сила Лоренца будет направлена в противоположную сторону: вертикально вверх.

Правильный ответ: 2.

A19. На рисунке приведена демонстрация опыта по проверке правила Ленца. Опыт проводится со сплошным кольцом, а не разрезанным, потому что

Решение. Опыт проводится со сплошным кольцом, потому что в сплошном кольце возникает индукционный ток, а в разрезанном - нет.

Правильный ответ: 3.

А20. Разложение белого света в спектр при прохождении через призму обусловлено:

Решение. Используя формулу для линзы, определим положение изображения предмета:

Если на этом расстоянии расположить плоскость фотоплёнки, то получится чёткое изображение. Видно, что 50 мм

Правильный ответ: 3.

А22. Скорость света во всех инерциальных системах отсчёта

Решение. Согласно постулату специальной теории относительности скорость света во всех инерциальных системах отсчёта одинакова и не зависит ни от скорости приёмника света, ни от скорости источника света.

Правильный ответ: 1.

А23. Бета-излучение - это

Решение. Бета-излучение - это поток электронов.

Правильный ответ: 3.

А24. Реакция термоядерного синтеза идёт с выделением энергии, при этом:

А. Сумма зарядов частиц - продуктов реакции - точно равна сумме зарядов исходных ядер.

Б. Сумма масс частиц - продуктов реакции - точно равна сумме масс исходных ядер.

Верны ли приведенные выше утверждения?

Решение. Заряд сохраняется всегда. Поскольку реакция идёт с выделением энергии, суммарная масса продуктов реакции меньше суммарной массы исходных ядер. Верно только А.

Правильный ответ: 1.

A25. К подвижной вертикальной стенке приложили груз массой 10 кг. Коэффициент трения между грузом и стенкой равен 0,4. С каким минимальным ускорением надо передвигать стенку влево, чтобы груз не соскользнул вниз?

1)
2)
3)
4)

Решение. Чтобы груз не соскользнул вниз, нужно чтобы сила трения между грузом и стенкой уравновесила силу тяжести: . Для неподвижного относительно стенки груза верно соотношение , где μ - коэффициент трения, N - сила реакции опоры, которая по второму закону Ньютона связана с ускорением стенки равенством . В итоге получаем:

Правильный ответ: 3.

A26. Пластилиновый шар массой 0,1 кг летит горизонтально со скоростью 1 м/с (см. рис.). Он налетает на неподвижную тележку массой 0,1 кг, прикрепленную к легкой пружине, и прилипает к тележке. Чему равна максимальная кинетическая энергия системы при её дальнейших колебаниях? Трением пренебречь. Удар считать мгновенным.

1)	0,1 Дж
2)	0,5 Дж
3)	0,05 Дж
4)	0,025 Дж

Решение. По закону сохранения импульса скорость тележки с прилипшим пластилиновым шаром равна

Правильный ответ: 4.

А27. Экспериментаторы закачивают воздух в стеклянный сосуд, одновременно охлаждая его. При этом температура воздуха в сосуде понизилась в 2 раза, а его давление возросло в 3 раза. Во сколько раз увеличилась масса воздуха в сосуде?

1)	в 2 раза
2)	в 3 раза
3)	в 6 раз
4)	в 1,5 раза

Решение. Используя уравнение Менделеева - Клапейрона, можно рассчитать массу воздуха в сосуде:

Если температура понизилась в 2 раза, а его давление возросло в 3 раза, то масса воздуха увеличилась в 6 раз.

Правильный ответ: 3.

A28. К источнику тока с внутренним сопротивлением 0,5 Ом подключили реостат. На рисунке показан график зависимости силы тока в реостате от его сопротивления. Чему равна ЭДС источника тока?

1)	12 В
2)	6 В
3)	4 В
4)	2 В

Решение. По закону Ома для полной цепи:

При внешнем сопротивлении равном нуля ЭДС источника тока находится по формуле:

Правильный ответ: 2.

А29. Последовательно соединены конденсатор, катушка индуктивности и резистор. Если при неизменной частоте и амплитуде напряжения на концах цепи увеличивать ёмкость конденсатора от 0 до , то амплитуда тока в цепи будет

Решение. Сопротивление схемы переменному току равно . Амплитуда тока в цепи равна

Эта зависимость как функция С на промежутке имеет максимум при . Амплитуда тока в цепи будет сначала возрастать, затем убывать.

Правильный ответ: 3.

А30. Сколько α- и β-распадов должно произойти при радиоактивном распаде ядра урана и конечном превращении его в ядро свинца ?

1)	10 α- и 10 β-распадов
2)	10 α- и 8 β-распадов
3)	8 α- и 10 β-распадов
4)	10 α- и 9 β-распадов

Решение. При α-распаде масса ядра уменьшается на 4 а. е. м., а при β-распаде масса не изменяется. В серии распадов масса ядра уменьшилась на 238 – 198 = 40 а. е. м. Для такого уменьшения массы требуется 10 α-распадов. При α-распаде заряд ядра уменьшается на 2, а при β-распаде - увеличивается на 1. В серии распадов заряд ядра уменьшился на 10. Для такого уменьшения заряда кроме 10 α-распадов требуется 10 β-распадов.

Правильный ответ: 1.

Часть B

В1. Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту, упал обратно на землю через 2 с в 20 м от места броска. Чему равна минимальная скорость камня за время полёта?

Решение. За 2 с камень преодолел 20 м по горизонтали, следовательно, составляющая его скорости, направленная вдоль горизонта, равна 10 м/с. Скорость камня минимальна в наивысшей точке полёта. В верхней точке полная скорость совпадает со своей горизонтальной проекцией и, следовательно, равна 10 м/с.

В2. Для определения удельной теплоты плавления льда в сосуд с водой стали бросать кусочки тающего льда при непрерывном помешивании. Первоначально в сосуде находилось 300 г воды при температуре 20 °C. К моменту времени, когда лёд перестал таять, масса воды увеличилась на 84 г. Определите по данным опыта удельную теплоту плавления льда. Ответ выразите в кДж/кг. Теплоёмкостью сосуда пренебречь.

Решение. Вода отдала теплоты. Это количество теплоты пошло на таяние 84 г льда. Удельная теплота плавления льда равна .

Ответ: 300.

В3. При лечении электростатическим душем к электродам прикладывается разность потенциалов . Какой заряд проходит между электродами за время процедуры, если известно, что электрическое поле совершает при этом работу, равную 1800 Дж? Ответ выразите в мКл.

Решение. Работа электрического поля по перемещению заряда равна . Откуда можно выразить заряд:

В4. Дифракционная решетка с периодом расположена параллельно экрану на расстоянии 1,8 м от него. Какого порядка максимум в спектре будет наблюдаться на экране на расстоянии 21 см от центра дифракционной картины при освещении решетки нормально падающим параллельным пучком света с длиной волны 580 нм? Считать .

Решение. Угол отклонения связан с постоянной решётки и длиной волны света равенством . Отклонение на экране составляет . Таким образом, порядок максимума в спектре равен

Часть C

С1. Масса Марса составляет 0,1 от массы Земли, диаметр Марса вдвое меньше, чем диаметр Земли. Каково отношение периодов обращения искусственных спутников Марса и Земли , движущихся по круговым орбитам на небольшой высоте?

Решение. Период обращения искусственного спутника, движущегося вокруг планеты по круговой орбите на небольшой высоте, равен

где D - диаметр планеты, v - скорость движения спутника, которая связана с центростремительным ускорением соотношением.

При соударении тел друг с другом они претерпевают деформации

При соударении тел друг с другом они претерпевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и в так называемую внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повышением их температуры.

Существуют два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются двумя условиями-сохранением полной энергии и сохранением полного импульса системы тел.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон же сохранения Механической энергии не соблюдается - имеет место закон сохранения суммарной энергии различных видов - механической и внутренней.

Мы ограничимся рассмотрением центрального удара двух шаров. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры. При центральном ударе соударение может произойти, если; 1) шары движутся навстречу друг другу (рис 70, а) и 2) одни из шаров догоняет другой (рис, 70,6).

Будем предполагать, что шары образуют замкнутую систему или что внешние силы, приложенные к шарам, уравновешивают друг друга.

Рассмотрим вначале абсолютно неупругий удар. Пусть массы шаров равны m 1 и m 2 , а скорости до удара V 10 и V 20. В силу закона сохранения суммарный импульс шаров после удара должен быть таким же, как и до удара:

Поскольку векторы v 10 и v 20 направлены вдоль одной и той же прямой, вектор v также имеет направление, совпадающее с этой прямой. В случае б) (см. рис. 70) он направлен в ту же сторону, что и векторы v 10 и v 20 . В случае а) вектор v направлен в сторону того из векторов v i0 , для которого произведение m i v i0 больше.

Модуль вектора v может быть вычислен по следующей формуле:

где υ 10 и υ 20 -модули векторов v 10 и v 20 ; знак «-» соответствует случаю а), знак «+» - случаю б).

Теперь рассмотрим абсолютно упругий удар. При таком ударе выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии.

Обозначим массы шаров m 1 и m 2 , скорости шаров до удара v 10 и v 20 и, наконец, скорости шаров после удара v 1 и v 2. Напишем уравнения сохранения импульса и энергии;

Учитывая, что , приведем (30.5) к виду

Умножая (30.8) на m 2 и вычитая результат из (30.6), а затем умножая (30.8) на m 1 и складывая результат с (30.6), получим векторы скоростей шаров после удара:

Для численных подсчетов спроектируем (30.9) на направление вектора v 10 ;

В этих формулах υ 10 и υ 20 -модули, а υ 1 и υ 2 - проекции соответствующих векторов. Верхний знак «-» соответствует случаю шаров, движущихся навстречу друг другу, нижний знак «+» - случаю, когда первый шар нагоняет второй.

Отметим, что скорости шаров после абсолютно упругого удара не могут быть одинаковыми. В самом деле, приравняв друг другу выражения (30.9) для v 1 и v 2 и произведя преобразования, получим:

Следовательно, для того чтобы скорости шаров после удара оказались одинаковыми, необходимо, чтобы они были одинаковыми и до удара, но в этом случае соударение не может произойти. Отсюда следует, что условие равенства скоростей шаров после удара несовместимо с законом сохранения энергии. Итак, при неупругом ударе механическая энергия не сохраняется - она частично переходит во внутреннюю энергию соударяющихся тел» что приводит к их нагреву.

Рассмотрим случай, когда массы соударяющихся шаров равны: m 1 =m 2 . Из (30.9) следует, что при этом условии

т. е. шары при соударении обмениваются скорости. В частности, если один из шаров одинаковой массы, например второй, до соударения покоится, то после удара он движется с такой же скоростью, какую использовал первоначально первый шар; первый же шар после удара оказывается неподвижным.

С помощью формул (30.9) можно определить скорость шара после упругого удара о неподвижную не движущуюся стенку (которую можно рассматривать как шар бесконечно большой массы m 2 и бесконечно большого радиуса). Деля числитель и знаменатель выражений (30,9) на m 2 и пренебрегая членами, содержащие множитель m 1 /m 2 получаем:

Как следует из полученного результата, скоро стенки остается неизменной. Скорость же шара, если стенка неподвижна (v 20 =0), меняет направление противоположное; в случае движущейся стенки изменяется также величина скорости шара (возрастает до 2υ 20 , если стенка движется навстречу шару, и убывает 2υ 20 , если стенка «уходит» от догоняющего ее шара)

Импульс - это физическая величина, которая в определенных условиях остается постоянной для системы взаимодействующих тел. Модуль импульса равен произведению массы на скорость (p = mv). Закон сохранения импульса формулируется так:

В замкнутой системе тел векторная сумма импульсов тел остается постоянной, т. е. не изменяется. Под замкнутой понимают систему, где тела взаимодействуют только друг с другом. Например, если трением и силой тяжести можно пренебречь. Трение может быть мало, а сила тяжести уравновешиваться силой нормальной реакции опоры.

Допустим, одно движущееся тело сталкивается с другим таким же по массе телом, но неподвижным. Что произойдет? Во-первых столкновение может быть упругим и неупругим. При неупругом столкновении тела сцепляются в одно целое. Рассмотрим именно такое столкновение.

Поскольку массы тел одинаковы, то обозначим их массы одинаковой буквой без индекса: m. Импульс первого тела до столкновения равен mv 1 , а второго равен mv 2 . Но так как второе тело не движется, то v 2 = 0, следовательно, импульс второго тела равен 0.

После неупругого столкновения система из двух тел продолжит двигаться в ту сторону, куда двигалось первое тело (вектор импульса совпадает с вектором скорости), а вот скорость станет в 2 раза меньшей. То есть масса увеличится в 2 раза, а скорость уменьшится в 2 раза. Таким образом, произведение массы на скорость останется прежним. Разница только в том, что до столкновения скорость была в 2 раза больше, но масса была равна m. После столкновения масса стала 2m, а скорость в 2 раза меньше.

Представим, что неупруго сталкиваются два тела, движущихся навстречу друг другу. Векторы их скоростей (также как и импульсов) направлены в противоположные стороны. Значит, модули импульсов надо вычитать. После столкновения система из двух тел продолжит двигаться в ту сторону, куда двигалось тело, обладающее большим импульсом до столкновения.

Например, если одно тело было массой 2 кг и двигалось со скоростью 3 м/с, а другое - массой 1 кг и скоростью 4 м/с, то импульс первого равен 6 кг · м/с, а импульс второго равен 4 кг · м/с. Значит, вектор скорости после столкновения будет сонаправлен с вектором скорости первого тела. А вот значение скорости можно вычислить так. Суммарный импульс до столкновения был равен 2 кг · м/с, так как векторы разнонаправлены, и мы должны вычитать значения. Таким же он должен остаться и после столкновения. Но после столкновения масса тела увеличилась до 3 кг (1 кг + 2 кг), значит из формулы p = mv следует, что v = p/m = 2/3 = 1,6(6) (м/с). Мы видим, что в результате столкновения скорость уменьшилась, что согласуется с нашим житейским опытом.

Если два тела движутся в одну сторону и одно из них нагоняет второе, толкает его, сцепляясь с ним, то как изменится скорость этой системы тел после столкновения? Допустим, тело массой 1 кг двигалось со скоростью 2 м/с. Его догнало и сцепилось с ним тело массой 0,5 кг, двигающееся со скоростью 3 м/с.

Так как тела двигаются в одну сторону, то импульс системы этих двух тел равен сумме импульсов каждого тела: 1 · 2 = 2 (кг · м/с) и 0,5 · 3 = 1,5 (кг · м/с). Суммарный импульс равен 3,5 кг · м/с. Он должен сохраниться и после столкновения, но масса тела здесь будет уже 1,5 кг (1 кг + 0,5 кг). Тогда скорость будет равна 3,5/1,5 = 2,3(3) (м/с). Эта скорость больше, чем скорость первого тела, и меньше, чем скорость второго. Это и понятно, первое тело подтолкнули, а второе, можно сказать, столкнулось с препятствием.

Теперь представим, что два тела изначально сцеплены. Некая равная сила расталкивает их в разные стороны. Каковы будут скорости тел? Поскольку для каждого тела применена равная сила, то модуль импульса одного должен быть равен модулю импульса другого. Однако векторы разнонаправлены, поэтому при их сумма будет равна нулю. Это и правильно, т. к. до разъезжания тел их импульс был равен нулю, ведь тела покоились. Так как импульс равен произведению массы на скорость, то в данном случае понятно, что чем массивнее тело, тем меньше будет его скорость. Чем легче тело, тем больше будет его скорость.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Явление удара.

2. Прямой центральный удар двух тел.

3. Удар по вращающемуся телу.

Изучение данных вопросов необходимо для изучения колебательных движений механической системы в дисциплине «Детали машин», для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Сопротивление материалов».

Явление удара.

Ударом будем называть кратковременное действие на тело некоторой силы . Силы, возникающей, например, при встрече двух массивных тел.

Опыт показывает, что взаимодействие их очень кратковременно (время контакта исчисляется тысячными долями секунды), а сила удара довольно велика (в сотни раз превышает вес этих тел). Да и сама сила – не постоянна по величине. Поэтому явление удара - сложный процесс, сопровождающийся к тому же деформацией тел. Точное исследование его требует знания физики твердого тела, законов тепловых процессов, теории упругости и др. При рассмотрении столкновений необходимо знать форму тел, массы покоя, скорости движения и их упругие свойства.

При ударе возникают внутренние силы, значительно превышающие все внешние силы, которыми можно в этом случае пренебречь, поэтому соударяющиеся тела можно рассматривать как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения энергии и импульса. Кроме того, эта система консервативна, т.е. внутренние силы консервативны, а внешние силы стационарны и консервативны. Полная энергия консервативной системы не изменяется со временем .

Мы же воспользуемся довольно простыми методами исследования, но которые, как подтверждает практика, достаточно правильно объясняют явление удара.

Поскольку сила удара очень велика, а продолжительность его, время , мало,при описании процесса удара будем пользоваться не дифференциальными уравнениями движения, а теоремой об изменении количества движения. Потому что измеряемой конечной величиной является не сила удара, а импульс ее

Чтобы сформулировать первые особенности явления удара, рассмотрим сначала действие такой силы на материальную точку.

Пусть к материальной точке М , движущейся под действием обычных сил по некоторой траектории (рис.1), в какой-то момент была приложенамгновенная,большаясила . С помощью теоремы об изменении количества движения за время удара составляем уравнение где и - скорости точки в конце и в начале удара; - импульс мгновенной силы . Импульсами обычных сил, под действием которых точка двигалась, можно пренебречь – за время они будут очень малы.

Рис.1

Изуравнениянаходимизменениескоростизавремяудара (рис.1):

Это изменение скорости оказывается конечной величиной.

Дальнейшее движение точки начнется со скоростью и продолжится под действием прежних сил, но по траектории, получившей излом.

Теперь можно сделать несколько выводов.

1. Приисследованииявленияудараобычные силы можно не учитывать.

2. Так как время мало, перемещением точки за время удара можно пренебречь.

3. Единственный результат действия удара – только изменение вектора скорости.

Прямой центральный удар двух тел.

Удар называется прямым и центральным , если центры масс тел до удара двигались по одной прямой, по оси х , точка встречи их поверхностей оказывается на этой же прямой и общая касательная Т к поверхностям будет перпендикулярна оси х (рис.2).

Рис.2

Если касательная Т не перпендикулярна этой оси, удар называется косым

Пусть тела двигались поступательно со скоростями их центров масс и . Определим каковы будут их скорости и после удара.

За время удара на тела действуют ударные силы , импульсы которых, приложенные в точке касания, показаны на рис.2,б . По теореме об изменении количества движения, в проекциях на ось х , получим два уравнения

где и - массы тел; - проекции скоростей на ось х .

Конечно, этих двух уравнений недостаточно для определения трех неизвестных (и S ). Нужно еще одно, которое, естественно, должно характеризовать изменение физических свойств этих тел в процессе удара, учитывать упругость материала и его диссипативные свойства.

Рассмотрим сначала удар пластичных тел , таких, которые по окончании удара не восстанавливают деформированный объем и продолжают двигаться как одно целое со скоростью u , т.е. . Это и будет недостающее третье уравнение. Тогда имеем

Решив эти уравнения, получим

Так как величина импульса S должна быть положительной, то для того чтобы произошел удар, требуется выполнение условия .

Нетрудно убедиться, что удар пластичных, неупругих тел сопровождается потерей их кинетической энергии.

Кинетическая энергия тел до удара

После удара

Отсюда

Или, учитывая (2),

И, подставив значение импульса S , по (4), получим

Эта «потерянная» энергия расходуется на деформацию тел, на нагревание их при ударе, (можно убедиться, что после нескольких ударов молотком, деформированное тело сильно нагревается).

Заметим, что если одно из тел до удара было неподвижным, например , то потерянная энергия

(так как энергия тел до удара в этом случае была только у первого тела, ). Таким образом, потеря энергии, энергии затраченной на деформацию тел, составляет часть энергии ударяющего тела.

Следовательно, при ковке металла, когда желательно чтобы было побольше , отношение нужно сделать как можно меньше, . Поэтому наковальню делают тяжелой, массивной. Аналогично, при клепке какой-либо детали, молоток надо выбирать полегче .

И, наоборот, при забивании гвоздя или сваи в грунт, молоток (или бабу копра) надо брать потяжелее , чтобы деформация тел была меньше, чтобы большая часть энергии пошла на перемещение тела.

В абсолютно неупругом ударе закон сохранения механической энергии не выполняется, но выполняется закон сохранения импульса. Потенциальная энергия шаров не меняется, меняется только кинетическая энергия – она уменьшается. Уменьшение механической энергии рассматриваемой системы обусловлено деформацией тел, которая сохраняется после удара.

Перейдем теперь к удару упругих тел.

Ударный процесс таких тел происходит гораздо сложнее. Под действием ударной силы деформация их сначала увеличивается, увеличивается до тех пор пока скорости тел не уравняются. А затем, за счет упругости материала, начнется восстановление формы. Скорости тел начнут изменяться, изменяться до тех пор пока тела не отделятся друг от друга.

Разделим процесс удара на две стадии: от начала удара до того момента, когда скорости их уравняются и будут равными u ; и от этого момента до конца удара, когда тела разойдутся со скоростями и .

Для каждой стадии получим по два уравнения:

где S 1 и S 2 – величины импульсов взаимных реакций тел для первой и второй стадий.

Уравнения (6) аналогичны уравнениям (2). Решая их, получим

В уравнениях (7) три неизвестные величины (). Не хватает одного уравнения, которое опять должно характеризовать физические свойства этих тел.

Положим отношение импульсов S 2 / S 1 = k .Это и будет дополнительное третье уравнение.

Опыт показывает, что величину k можно считать зависящей только от упругих свойств этих тел. (Правда, более точные эксперименты показывают, что есть некоторые зависимости и от их формы). Определяется этот коэффициент экспериментально для каждых конкретных тел. Называется он коэффициентом восстановления скорости . Величина его . У пластичных тел k = 0, у абсолютно упругих тел k = 1.

Решая, теперь, уравнения (7) и (6), получим скорости тел после окончания удара.

Скорости имеют положительный знак, если они совпадают с положительным направлением оси, выбранной нами, и отрицательный – в противном случае.

Проанализируем полученные выражения для двух шаров различных масс.

1) m 1 = m 2 ⇒

Шары равной массы «обмениваются» скоростями.

2) m 1 > m 2 , v 2 =0,

u 1 < v 1 , следовательно, первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью;

u 2 > u 1 , следовательно, скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара.

3) m 1 < m 2 , v 2 =0,

u 1 <0, следовательно, направление движения первого шара при ударе изменяется – шар отскакивает обратно.

u 2 < v 1 , следовательно, второй шар в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью.

4) m 2 >> m 1 (например, столкновение шара со стенкой)

u 1 =- v 1 , , следовательно, получившее удар большое тело останется в покое, а ударившее малое тело отскочит с первоначальной скоростью в противоположную сторону.

Можно найти, как и при ударе пластичных тел, потерю кинетической энергии при ударе упругих тел. Она получится такой

Заметим, что при ударе абсолютно упругих тел (k = 1) кинетическая энергия не изменяется, не «теряется» (T 1 = T 2 ).

Пример 1. Металлический шарик падает с высоты h 1 на горизонтальную массивную плиту. После удара он подскакивает на высоту h 2 (рис.3).

Рис.3

В начале удара о плиту проекция скорости шарика на осьх а скорость неподвижной плиты . Считая, что масса плиты , много больше массы шарика, можно положить u = 0 и u 2 = 0. Тогда по (8) . (Теперь, кстати, понятно почему коэффициент k называется коэффициентом восстановления скорости.)

Итак, скорость шарика в конце удара и направлена вверх (u 1 > 0). Шарик подскакивает на высоту h 2 , связанную со скоростью формулой З начит, = k и По последней формуле, кстати, и определяется коэффициент восстановления k для материалов, из которых сделаны шарик и плита.

Пример 2. Шар массой m 1 =2 кг движется со скоростью v 1 =3 м/с и нагоняет шар массой m 2 =8 кг, движущийся со скоростью v 2 =1 м/с (рис.4). Считая удар центральным и абсолютно упругим , найти скорости u 1 и u 2 шаровпосле удара.

Рис.4

Решение. В случае абсолютно упругого удара выполняются законы сохранения импульса и энергии:

Отсюда следует, что

Умножив это выражение на m 2 и вычтя результат из а затем, умножив это выражение на m 1 и сложив результат с получим скорости шаров после абсолютно упругого удара

Спроецировав скорости на ось х и подставивданные задачи, получим

Знак «минус» в первом выражении означает, что в результате абсолютно упругого удара первый шар начал двигаться в обратном направлении. Второй шар продолжил движение в прежнем направлении с большей скоростью.

Пример 3. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем (рис.5). Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от центра шара до точки подвеса стержня l = 1 м. Найти скорость v пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол α =10 ° .

Рис.5

Решение. Для решения задачи необходимо использовать законы сохранения. Запишем закон сохранения импульса для системы «шар-пуля», полагая, что их взаимодействиеподпадает под описание так называемого неупругого удара, т.е. взаимодействия, в результате которого два тела движутся как единое целое:

Учтем, что шар покоился и движение пули, а затем шара с пулей внутри происходило в одну сторону, получим уравнение в проекциях на горизонтальную ось в виде: mv =( m + M ) u .

Запишем закон сохранения энергии

Поскольку h = l = lcos 𝛼 = l (1- cos 𝛼 ) , то , и, тогда

Учитывая, что M =1000 m , получим

Пример 4. Шар массой m, двигаясь со скоростью v , упруго ударяется о стенку под углом α . Определить импульс силы F ∆ t , полученный стенкой.

Рис.6

Решение. Изменение импульса шара численно равно импульсу силы, который получит стенка

Из рис.6 F ∆ t =2 mv ∙ sin α .

Пример 5. Пуля (рис.7) веса Р 1 , летящая горизонтально со скоростью u , попадает в закрепленный на неподвижной тележке ящик с песком веса Р 2 . С какой скоростью будет двигаться тележка после удара, если трением колес о Землю можно пренебречь?

Рис.7

Решение. Будем рассматривать пулю и тележку с песком как одну систему (рис. 7). На нее действуют внешние силы:вес пули Р 1 , вес тележки Р 2 , а также силы реакции колес. Поскольку трение отсутствует, то эти последние направлены вертикально вверх и их можно заменить равнодействующей N . Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы в интегральной форме. В проекции на ось Ox (см. рис. 77) тогда имеем

где – количество движения системы до удара, а – после удара. Поскольку все внешние силы вертикальны, то правая часть этого уравнения равна нулю и поэтому .

Так как до удара тележка покоилась, то . После удара система движется как единое целое с искомой скоростью vи, следовательно, Q 2 x =(P 1 + P 2 ) v / g . Приравнивая эти выражения, находим искомую скорость: v = P 1 u /(P 1 + P 2 ).

Пример 6. Тело массой m 1 = 5 кг ударяется о неподвижное тело массой m 2 = 2,5 кг. Кинетическая энергия системы двух тел непосредственно после удара стала W к = 5 Дж. Считая удар центральным и неупругим, найти кинетическую энергию W к1 первого тела до удара.

Решение.

1) Используем закон сохранения импульса:

где v 1 - скорость первого тела до удара; v 2 - скорость второго тела до удара; v - скорость движения тел после удара.

v 2 =0 т.к. по условию второе тело до удара неподвижно

Т.к. удар неупругий, то скорости двух тел после удара равны, таким образом, выразив v через ω k , получим:

3) Отсюда имеем:

4) Подставив данное значение, найдем кинетическую энергию первого тела до удара:

Ответ: Кинетическая энергия первого тела до удара ω k 1 =7,5 Дж.

Пример 7. В конец стержня, имеющего горизонтальную ось вращения, попадает пуля массой m и застревает в нем (рис.7.1). Сохраняются ли в системе «стержень - пуля» при ударе: а) импульс; б) момент импульса относительно оси вращения стержня; в) кинетическая энергия?

Рис.7.1

Решение. На указанную систему тел действуют внешние силы тяжести и реакции со стороны оси. Если бы ось могла перемещаться, то она после удара передвинулась бы вправо. Вследствие жесткого крепления, например, к потолку здания, импульс силы, полученный осью при взаимодействии, воспринимает вся Земля в целом. Поэтому импульс системы тел не сохраняется.

Моменты указанных внешних сил относительно оси вращения равны нулю. Следовательно, закон сохранения момента импульса выполняется.

При ударе пуля застревает вследствие действия внутренней силы трения, поэтому часть механической энергии переходит во внутреннюю (тела нагреваются). А поскольку в данном случае потенциальная энергия системы не изменяется, то уменьшение полной энергии происходит за счет кинетической .

Пример 8. На нити подвешен груз. Пуля, летящая горизонтально, попадает в груз (рис.7.2). При этом возможны три случая.

1) Пуля, пробив груз и сохранив часть скорости, летит дальше.

2) Пуля застревает в грузе.

3) Пуля после удара отскакивает от груза.

В каком из этих случаев груз отклонится на наибольший угол α ?

Рис.7.2

Решение. При ударе материальных точек выполняется закон сохранения импульса. Обозначим скорость пули до удара через v , массы пули и груза через m 1 и m 2 соответственно, скорости пули и груза после удара - u 1 и u 2 . Совместим координатную ось х с вектором скорости пули.

В первом случае закон сохранения импульса в проекции на ось х имеет вид:

причем, u 2 > u 1 .

Во втором случае закон сохранения импульса имеет тот же вид, но скорости тел после удара совпадают u 2 = u 1 = u :

В третьем случае закон сохранения импульса принимает следующий вид:

Из выражений (1) - (3) выразим импульс груза после удара:

Видно, что в третьем случае импульс груза наибольший, следовательно и угол отклонения принимает максимальное значение.

Пример 9. Материальная точка массы m упруго ударяется о стенку (рис.7.3). Изменяется ли при ударе момент импульса точки:

1) относительно точки А ;

2) относительно точки В ?

Рис.7.3

Решение. Эту задачу можно решить двумя способами:

1) используя определение момента импульса материальной точки,

2) на основе закона изменения момента импульса.

Первый способ .

По определению момента импульса имеем:

где r - радиус-вектор, определяющий положение материальной точки, p = mv - ее импульс.

Модуль момента импульса рассчитывается по формуле:

где α - угол между векторами r и р .

При абсолютно упругом ударе о неподвижную стенку модуль скорости материальной точки и, следовательно, модуль импульса не изменяются p I = p II = p , кроме того, угол отражения равен углу падения.

Модуль момента импульса относительно точки А (рис.7.4) равен до удара

после удара

Направления векторов L I и L II можно определить по правилу векторного произведения; оба вектора направлены перпендикулярно плоскости рисунка “к нам”.

Следовательно, при ударе момент импульса относительно точки А не изменяется ни по величине, ни по направлению.

Рис.7.4

Модуль момента импульса относительно точки В (рис.7.5) равен как до, так и после удара

Рис.7.5

Ориентации векторов L I и L II в данном случае будут различны: вектор L I по-прежнемунаправлен“к нам”,авектор

L II - “от нас”. Следовательно, момент импульса относительно точки В претерпевает изменение.

Второй способ .

Согласно закону изменения момента импульса имеем:

где M =[ r , F ] - момент силы взаимодействия материальной точки со стенкой, его модуль равен M = Frsin α . Во время удара на материальную точку действует упругая сила, возникающая при деформации стенки и направленная по нормали к ее поверхности (сила нормального давления N ). Силой тяжести в данном случае можно пренебречь, за время удара она практически не оказывает влияния на характеристики движения.

Рассмотрим точку А . Из рис.7.6 видно, что угол между вектором силы N и радиус-вектором, проведенным от точки А к взаимодействующей частице, α = π, sinα =0 . Следовательно, М = 0 и L I = L II . Для точки В α = π /2, sin α =1. Следовательно, и момент импульса относительно точки В изменяется.

Рис.7.6

Пример 10. Молекула массой m , летящая со скоростью v , ударяется о стенку сосуда под углом α к нормали и упруго отскакивает от нее (рис.7.7). Найти импульс, полученный стенкой за время удара.

Рис.7.7

Решение. При абсолютно упругом ударе выполняется закон сохранения энергии. Поскольку стенка неподвижна , кинетическая энергия молекулы, а следовательно и модуль скорости не изменяется. Кроме того, угол отражения молекулы равен углу, под которым она движется к стенке.

Изменение импульса молекулы равно импульсу силы, полученному молекулой от стенки:

p II - p I = F ∆ t ,

где F - средняя сила, с которой стенка действует на молекулу, p I = mv , p II = mv - импульсы молекулы до и после удара.

Спроектируем векторное уравнение на оси координат:

Σ x =0:mv∙ cos α -(-mv ∙ cos α )= F x ∆ t,

Σy =0:mv∙sin α -mv ∙sinα =F y ∆ t,F y = 0.

откуда величина импульса силы, полученного молекулой, равна

F ∆ t = F x ∆ t =2 mv ∙ cos α .

По третьему закону Ньютона величина силы, с которой стенка действует на молекулу равна силе, действующей со стороны молекулы на стенку. Поэтому стенка получает точно такой же импульс F ∆ t =2 mv ∙ cos α , но направленный в противоположную сторону.

Пример 11. Боек свайного молота массой m 1 падает с некоторой высоты на сваю массой m 2 . Найти КПД удара бойка, считая удар неупругим. Изменением потенциальной энергии сваи при ее углублении пренебречь.

Решение. Рассмотрим систему тел, состоящую из бойка молота и сваи. До удара (состояние I) боек движется со скоростью v 1 , свая неподвижна. Суммарный импульс системы p I = m 1 v 1 , ее кинетическая энергия (затраченная энергия)

После удара оба тела системы движутся с одинаковой скоростью u . Их суммарный импульс p II =(m 1 + m 2 ) u , а кинетическая энергия (полезная энергия)

По закону сохранения импульса p I = p II имеем

откуда выражаем конечную скорость

Коэффициент полезного действия равен отношению полезной энергии к затраченной, т.е.

Следовательно,

С помощью выражения (1) окончательно получаем:

Удар по вращающемуся телу.

При исследовании удара по вращающемуся телу кроме теоремы об изменении количества движения приходится использовать и закон моментов. Относительно оси вращения его запишем так и, после интегрирования за время удара , или где и - угловые скорости тела в начале и в конце удара, - ударные силы.

Правую часть надо немного преобразовать. Найдем, сначала, интеграл момента ударной силы относительно неподвижной точки О :

При этом предполагалось, что за малое время удара τ радиус-вектор считался неизменным, постоянным.

Проектируя результат этого векторного равенства на ось вращения z , проходящую через точку О , получим , т.е. интеграл равен моменту вектора импульса ударной силы относительно оси вращения. Закон моментов в преобразованном виде запишется, теперь, так:

.(10)

В качестве примера рассмотрим удар вращающегося тела о неподвижную преграду.

Тело, вращаясь вокруг горизонтальной оси О , ударяется о преграду А (рис.8). Определим ударные импульсы сил, возникающих в подшипниках на оси, и .

Рис.8

По теореме об изменении количества движения в проекциях на оси х и у получим два уравнения:

где скорости центра масс С в начале и конце удара Поэтому первое уравнение станет таким .

Третье уравнение, по (10), получится в виде из которого находим .

И, так как коэффициент восстановления

то (в нашем примере , поэтому ударный импульс S > 0, то есть направлен так, как показано на рисунке).

Находим импульсы реакции оси:

Обязательно надо обратить внимание на то, что при ударные импульсы в подшипниках оси будут равны нулю.

Место, точка удара, расположенная на этом расстоянии от оси вращения, называется центром удара . При ударе по телу в этом месте ударные силы в подшипниках не возникают.

Кстати, заметим, что центр удара совпадает с точкой где приложены равнодействующая сил инерции и вектор количества движения.

Вспомним, что при ударе длинной палкой по неподвижному предмету, мы нередко испытывали рукой неприятный ударный импульс, как говорят – «отбивали руку».

Нетрудно найти в этом случае центр удара – место, которым следует ударить, чтобы не почувствовать это неприятное ощущение (рис.9).

Рис.9

Так как (l – длина палки) и a = OC =0,5 l то

Следовательно, центр удара находится на расстоянии трети длины от конца палки.

Понятие центра удара учитывают при создании различных ударных механизмов и других конструкций, где встречаются ударные процессы.

Пример 12. Стержень массы m 2 и длины l , который может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через один из его концов, под действием силы тяжести переходит из горизонтального положения в вертикальное . Проходя через вертикальное положение, нижний конец стержня ударяет о небольшой кубик массы m 1 , лежащий на горизонтальном столе. Определить:

а) на какое расстояние переместится кубик m 1 , если коэффициент трения о поверхность стола равен μ ;

б) на какой угол отклонится стержень после удара.

Рассмотреть случаи абсолютно упругого и неупругого ударов.

Рис.10

Решение. В задаче описывается несколько процессов: падение стержня, удар, движение кубика, подъем стержня. Рассмотрим каждый из процессов .

Падение стержня. На стержень действует потенциальная сила тяжести и сила реакции оси, которая работы при вращательном движении стержня не совершает, т.к. момент этой силы равен нулю. Следовательно, выполняется закон сохранения энергии .

В начальном горизонтальном состоянии стержень обладал потенциальной энергией

откуда угловая скорость стержня до удара равна

Процесс удара. Система состоит из двух тел - стержня и кубика. Рассмотрим случаи неупругого и упругого ударов.

Неупругий удар . При ударе материальных точек или твердых тел, движущихся поступательно, выполняется закон сохранения импульса. Если хотя бы одно из взаимодействующих тел совершает вращательное движение, то следует применять закон сохранения момента импульса . При неупругом ударе оба тела после удара начинают движение с одной и той же угловой скоростью, скорость кубика совпадает с линейной скоростью нижнего конца стержня.

До удара (состояние

Упругий удар . После абсолютно упруго удара оба тела движутся по отдельности. Кубик движется со скоростью v , стержень - с угловой скоростью ω 3 . Кроме закона сохранения момента импульса для этой системы тел выполняется закон сохранения энергии.

До удара (состояние II ) двигался только стержень, его момент импульса относительно оси, проходящей через точку подвеса, равен

и сила трения скольжения

- Какое явление называется ударом?

- Чем характеризуется ударная сила?

- Какой эффект имеет действие ударной силы на материальную точку?

- Сформулируйте теорему об изменении количества движения механической системы при ударе в векторной форме и в проекциях на оси координат.

- Могут ли внутренние ударные импульсы изменить количество движения механической системы?

- Что называют коэффициентом восстановления при ударе и как он определяется опытным путем? В каких пределах находятся его числовые значения?

- Какова зависимость между углами падения и отражения при ударе о гладкую неподвижную поверхность?

- Чем характеризуются первая и вторая фазы упругого удара? В чем состоит особенность абсолютно упругого удара?

- Как определяются скорости двух шаров в конце каждой фазы прямого центрального удара (неупругого, упругого, абсолютно упругого)?

- Какова зависимость между ударными импульсами второй и первой фаз при абсолютно упругом ударе?

- Какова потеря кинетической энергии двух соударяющихся тел при неупругом, упругом и абсолютно упругом ударах?

- Как формулируется теорема Карно?

- Как формулируется теорема об изменении кинетического момента механической системы при ударе в векторной форме и в проекциях на оси координат?

- Могут ли внутренние ударные импульсы изменить кинетический момент механической системы?

- Какие изменения вносит действие ударных сил в движение твердых тел: вращающегося вокруг неподвижной оси и совершающего плоское движение?

- При каких условиях опоры вращающегося тела не испытывают действия внешнего ударного импульса, приложенного к телу?

- Что называют центром удара и каковы его координаты?

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Снаряд массой 100 кг летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой 10 т и застревает в нем. Какую скорость получит вагон, если: 1) вагон стоял неподвижно, 2) вагон двигался со скоростью 36 км/ч в том же направлении, что и снаряд, 3) вагон двигался со скоростью 36 км/ч в направлении, противоположном движению снаряда?

Задача 2.

Задача 3. Пуля массой 10 г, летевшая со скоростью 400 м/с, пробив доску толщиной 5 см, уменьшила скорость вдвое. Определить силу сопротивления доски движению пули.

Задача 4. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара 0,2 кг, масса второго 100 г. Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на высоту 4,5 см, и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если: 1) удар упругий, 2) удар неупругий?

Задача 5. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на очень легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара равно 1 м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол 10 ° .

Задача 6. Молот массой 1,5 т ударяет по раскаленной болванке, лежащей на наковальне и деформирует болванку. Масса наковальни вместе с болванкой равна 20 т. Определить КПД при ударе молота, считая удар неупругим. Считать работу, совершенную при деформации болванки, полезной.

Задача 7. Молот массой m 1 = 5 кг ударяет небольшой кусок железа, лежащий на наковальне. Масса наковальни m 2 = 100 кг. Массой куска железа пренебречь. Удар неупругий. Определить КПД удара молота при данных условиях.

Задача 8. Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и нагоняет второе тело массой 3 кг, движущееся со скоростью 1 м/с. Найти скорости тел после столкновения, если: 1) удар был неупругий, 2) удар был упругий. Тела движутся по одной прямой. Удар - центральный.

Задача 9. Пуля массой 10 г, летевшая горизонтально, попадает в подвешенный шар массой 2 кг, и, пробив его, вылетает со скоростью 400 м/с, причем шар поднимается на высоту 0,2 м. Определить: а) с какой скоростью летела пуля; б) какая часть кинетической энергии пули при ударе перешла во внутреннюю.

Задача 10. Деревянный шар массой М лежит на штативе, верхняя часть которого выполнена в виде кольца. Снизу в шар попадает пуля, летящая вертикально, и пробивает его. При этом шар поднимается на высоту h. На какую высоту поднимется пуля над штативом, если ее скорость перед ударом о шар былаv ? Масса пули m.

Задача 11. В ящик с песком массой M=5 кг, подвешенный на длинной нити l= 3 м, попадает пуля массой m=0,05 кг и отклоняет его на угол Теория машин и механизмов